2. Функция fmincon

Функция fmincon вычисляет вектор , который является локальным минимумом скалярной функциивекторного аргументапри следующих ограничениях:

1) линейных неравенств (здесь- матрица,- вектор);

2) линейных равенств (здесь- матрица,- вектор);

3) ограничений на величину вектора :(здесьи- векторы).

Также дополнительно могут быть наложены нелинейные условия: и(здесьи- векторные нелинейные функции), однако в данной лабораторной работе мы нелинейные ограничения рассматривать не будем.

Условия применения fmincon:

1) Минимизируемая функция должна быть непрерывной функцией аргументов;

2) Значения функций должны быть действительными (не комплексными!) .

Обратите внимание, что задача, которую решает функция fmincon не совпадает со скалярной задачей минимизации, поскольку в общем случае функция fmincon находит локальные минимумы функции , а скалярная задача оптимизации заключается в поиске наименьшего значения функции (т.е.глобального минимума). Отметим два случая, когда эти задачи совпадают:

1. Функция fmincon ищет глобальный минимум, если единственными ограничениями являются ограничения на величину вектора :.

2. Функция fmincon ищет глобальный минимум, если единственными ограничениями являются линейные равенства .

Перечисленные случаи не единственные, и ниже мы вернемся к обсуждению этого вопроса.

Заметим, что когда минимум не находится во внутренних точках допустимой области, fmincon минимизирует в граничных точках области.

Виды функции fmincon:

(здесь - выражение минимизируемой функции в апострофах, или имя в апострофах М-файла этой функции, или указатель на функцию, если она определена в виде М-файла;- вектор, начиная с которого идет поиск минимума функции);

;

.

Если какой-то из перечисленных выше входных параметров не используется, вместо него задается пустой аргумент ([]). Если отсутствуют ограничения на отдельные компоненты сверху или снизу, то соответствующие компоненты векторовизадаются как() или().

Чтобы получить значение критерия оптимальности в найденной точке, нужно использовать более полное обращение к каждому виду функцииfmincon: (здесь- минимальное значение функции).

Пример 1.

,

, ,.

Решение. Поскольку в задаче есть только ограничения на величину вектора , то с помощью функцииfmincon можно найти глобальный минимум, т.е. задачу оптимизации.

>> x0=[1,1,3];

>> lb=[1,0,0];

>> ub=[3,5,Inf];

>> [x,feval]=fmincon('x(1)^2+x(2)^2+x(3)^2-4*x(1)-6*x(2)-8*x(3)',x0,[],[],[],[],lb,ub)

x =

2.0000 3.0000 4.0000

feval =

-29.0000

Выводы: решением задачи минимизации является точка с координатами (2,3,4). Наименьшее значение функции равно.

Пример 2.

,

, ,.

Решение.

Чтобы прояснить ситуацию, построим график минимизируемой функции:

>> [X1,X2]=meshgrid(0:0.05:3,0:0.05:3);

>> f=X1.^2+X2.^2-X1.*X2-X1-X2;

>> surf(X1,X2,f)

На рисунке видно, что на допустимом множестве есть только один локальный минимум и этот локальный минимум совпадает с наименьшим значением функции на допустимом множестве. Для нахождения минимума (в данном случае как локального, так и клобального) используем функцию fmincon. В качестве начальной точки x0 возьмем точку с координатами (0,5; 0,5) (эта точка удовлетворяет ограничениям) .

>> A=[1 1];

>> B=[3];

>> lb=[0 0];

>> ub=[Inf Inf];

>> x0=[0.5 0.5];

>> [x,feval]=fmincon('x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-x(1)-x(2)',x0,A,B,[],[],lb,ub)

x =

1 1

feval =

-1

Выводы: решением задачи минимизации является точка с координатами (1,1). Наименьшее значение функции равно.

3. Решение задачи потребительского выбора.

Будем считать, что потребитель располагает доходом , которые он может полностью потратить на приобретение продуктов. Рассмотрим потребительские набор из двух продуктов. Потребительский набор – это вектор, координатакоторого равна количеству единиц первого блага, аравна количеству единиц второго блага. На множестве потребительских наборовопределена функция(называемаяфункцией полезности потребителя), значение которой на потребительском набореравно потребительской оценке потребителем этого набора. Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности (на тот счет, как именно нужно строить функию полезности, у экономистов есть много прледложений).Задача постребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора , который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении. Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е., гдеи- рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а- доход индивидуума, который он готов потратить на приобретения первого и второго продуктов (величины,,-заданы).

Формально задача потребительского выбора в случае двух продуктов имеет вид

,

,

, .

Упражнение 1.

Указание. Выполнение заданий следует начать с геометрической иллюстрации, с тем чтобы получить представление о возможности использования функции fmincon для решения приведенных заданий и правильно интерпретировать полученные результаты.

В1) Решить задачу потребительсткого выбора

,

,

, .

В2) Решить задачу потребительского выбора

,

,

, .

В3) Решить задачу потребительского выбора

,

,

, .

В4) Решить задачу потребительсткого выбора

,

,

, .

4. Решение задач скалярной оптимизации в случае выпуклых функции при линейных ограничениях с помощью функции fmincon.

Множество называетсявыпуклым, если вместе с любыми двумя точками ионо содержит и отрезок, соединяющий эти точки, т.е.для всех.

Функция , заданная на выпуклом множестве, называетсявыпуклой на этом множестве, если для любых точек ии произвольного числасправедливо неравенство

.

Если при этом и неравенство строгое, то функция называетсястрого выпуклой.

На практике обычно используют следующий критерий выпуклости функции: если дважды дифференцируемая на выпуклом множествефункция и все угловые миноры матрицы ее вторых производных(гессиана) неотрицательны (положительны) при всех, то функцияявляется выпуклой (строго выпуклой) на множестве.

Задача скалярной оптимизации

,

, …, .

называется выпуклой, если ,, …,выпуклые функции.

Выпуклые задачи имеют следующие свойства:

1) если задача скалярной оптимизации выпукла, то всякий локальный минимум является одновременно и глобальным;

2) если задача скалярной оптимизации выпукла, имеет решение и функция строго выпукла на, то решение задачи единственно.

Упражнение 2. Построить математические модели приведенных задач, убедиться в их выпуклости, после чего решить, используя функцию fmincon.

В1) Пусть имеется предприятие, выпускающее определенный товар и использующее при этом три вида ресурсов. Объемы затрачиваемых ресурсов обозначим через ,,. Работа предприятия характеризуется производственной функцией Кобба-Дугласа. Пусть ценаединицы первого ресурса равна 4 евро, ценаединицы второ го ресурса равна 6 евро, ценаединицы третьего ресурса равна 2 евро. На следующий месяц предприятие может затратить на оплату ресурсов не более 48000 евро. Какие ресурсы и в каком количестве предприятие должно оплатить в следующем месяце, имея целью максимизацию объема выпуска товара.

В2) Фирма, производящая продукцию на трех заводах, решила выпускать в месяц не менее 210 единиц продукции при наименьших суммарных. Сколько продукции ежемесячно следует выпускать на каждом заводе, если функции издержек заводов имеют вид:

для первого завода;

для второго завода;

для третьего завода?