5. Оценка остатка ряда с положительными членами

Пусть дан ряд . Назовем ряд, полученный из исходного отбрасыванием первыхчленов ряда,-м остатком ряда. Если сходится ряд , то сходится и его остаток, причем их суммы связаны соотношением(здесь- сумма ряда,- сумма остатка). Утверждение об оценке остатка ряда. Если для ряда с положительными членами существует такое число , что при всех, начиная с некоторого, выполняется неравенство, то сумма-го остатка приудовлетворяет неравенству. Действительно, условие , выполняемое для всех номеров больших, означает, что члены ряда, начиная с, стремятся к нулю не медленней членов геометрической прогрессии с данным, а значит и остаток ряда будет не больше суммы бесконечной геометрической прогрессии, т.е..

Для выполнения следующего упражнения, Вам, возможно, понадобится оператор цикла с неопределенным числом операций while … end. Его синтаксис:

while <логическое выражение>

<инструкции>

еnd

Этот оператор многократно выполняет инструкцию или группу инструкций, пока логическое выражение истинно. Логическое выражение имеет форму:

выражение <оператор отношения> выражение

оператор отношения: ==, <=, >=, <, >, ~

Упражнение 6. Пусть к ряду применимо утверждение об оценке ряда. СоздайтеM-функцию, которая оценивает число членов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметровM-функции используйте формулу общего члена последовательности и точность . Применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а) б)

Указание. Для ряда а) имеем: - при увеличениимонотонно уменьшается отдо. Для ряда б):- убывает отдо нуля. Наша М-функция может содержать два цикла. В первом цикле, начиная с, вычисляемидо тех пор пока выполняется неравенство. Во втором цикле продолжаем вычислятьи, а также. Второй цикл заканчивается при выполнении условия. Выходными параметрами М-функции должны бытьи.

6. Знакочередующиеся ряды

Назовем ряд , где всеположительны, знакочередующимся. Признак Лейбница. Если и, то: 1) ряд сходится; 2) для любого остатка выполняется неравенство, причем знаксовпадает со знаком.

Упражнение 7. Создать M-функцию, которая оценивает число членов знакочередующихся рядов, достаточное для вычисления суммы ряда с заданной точностью , и вычисляет сумму ряда с заданной точностью. В качестве входных параметровM-функции использовать формулу общего члена последовательности и точность .

Для следующих рядов доказать сходимость и применить созданную М-функцию для вычисления с точностью до 0,001 суммы ряда:

а) б).

Задания для самостоятельной работы

1. Выполнить упражнения из раздела «Краткие теоретические сведения и практические упражнения», которые не успели сделать в аудитории.

2. Самостоятельно выполнить упражнения:

Упражнение 1С. Для рядов 1) ; 2); 3)

выполнить следующие задания:

а) используя M-функцию, созданную в процессе выполнения упр. 1, построить в одной системе координат график последовательности членов ряда и график последовательности частичных сумм ряда. Опираясь на построенные графики, для каждого ряда выдвинуть гипотезу о сходимости или расходимости ряда. В случае предположения о сходимости ряда указать приблизительное значение суммы ряда.

б) Доказать, опираясь на определение, выдвинутую гипотезу о сходимости (расходимости) ряда, и в случае сходимости ряда, найти точное значение суммы.

Указание к пункту б) (ряд ): чтобы получить выражение дляразложить общий член ряда на сумму элементарных дробей.

Упражнение 2С. Опираясь на признаки сходимости, доказать:

а) ряд сходится; б) рядсходится;

в) ряд сходится; г)расходится.

3. Ответить на контрольные вопросы:

1. Что Вы можете сказать относительно сходимости ряда ?

2. Как изменится сумма сходящегося ряда с положительными членами, если отбросить три первых его члена?

3. От каждого члена сходящегосяа ряд отняли 1. Что можно сказать относительно сходимости нового ряда?