3. Общие свойства рядов.

1) Если ряд сходится, то сходится и любой ряд, полученный из него отбрасыванием конечного числа членов. 2) Если ряды исходятся, а их суммы соответственно равныи, то сходится и ряд, причем его сумма равна. 3) Если ряд сходится и его сумма равна, то сходится и ряд, причем его сумма равна.

Практически в каждом учебнике по математическому анализу можно найти доказательства этих свойств (впрочем, Вы можете доказать их и самостоятельно, опираясь на свойства числовых рядов).

А что получится, если складывать расходящиеся ряды?

Упражнение 4.

а) Пусть ряд сходится,расходится. Что можно сказать о сходимости ряда? Проиллюстрируйте Ваше предположение на примере, используя М-файл из упр. 1.

б) Пусть ряды ирасходятся. Что можно сказать о сходимости ряда? Проиллюстрируйте Ваши предположения на примерах, используя М-файл из упр. 1.

4. Признаки сходимости рядов с положительными членами

Рассмотрим некоторые признаки сходимости числовых рядов.

Признак сравнения. Пусть даны два ряда (1) и(2) , с положительными членами, причем. Тогда 1) если ряд (2) («больший») сходится, то и ряд (1) («меньший») сходится; 2) если ряд (1) («меньший») расходится, то и ряд (2) («больший») расходится.

Например, рассмотрим ряд , полученный из ряда(упр. 1, п. 5) отбрасыванием первых двух членов. Его можно сравнить с рядом, сходимость которого ранее доказана (упр. 1, п.6). Так каки «больший» ряд сходится, то сходится и «меньший» ряд, а, значит, и ряд.

Предельный признак сравнения. Пусть даны два ряда ис положительными членами таких, что существует конечный предел,. Тогда 1) если один из рядов сходится, то сходится и другой; 2) если один из рядов расходится, то расходится и другой.

Докажем, что расходится (гармонический) ряд (упр. 1 п. 4). Используем для сравнения ряд. Заметим, чтои найдем частичные суммы ряда:. Отсюда следует, что, т.е. рядрасходится. Но, значит, из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Признак Даламбера. Если для ряда с положительными членами существует предел, то ряд сходится в случаеи расходится в случае.

Рассмотрим ряд .

Имеем , следователь, ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Если для ряда с положительными членами существует предел, то ряд сходится в случаеи расходится в случае.

Рассмотрим ряд .

Имеем , следователь, ряд сходится.

Интегральный признак Коши. Пусть функция определена для, положительна, монотонно убывает и для всехимеет место равенство. Тогда для сходимости числового ряданеобходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл(иными словами рядсходится или расходится одновременно с).

Выясним, при каких сходится ряд. Положим(). Функцияположительна, монотонно убывает. Поэтому рядсходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл. Этот интеграл сходится прии расходится при. Значит, и рядсходится прии расходится при.

Упражнение 5. Опираясь на признаки сходимости, доказать:

а) ряд расходится; б) рядсходится;

в) ряд расходится; г) рядсходится.