8. Косоугольная и прямоугольная система координат.

В результате выполнения упражнения 2 можно получить примерно следующее.

Рис. 15

На первом рисунке мы видим разложение вектора sпо прямоугольному декартовому базису, в котором базис суть орты (единичные векторы), причём взаимно перпендикулярные. Прямоугольную систему координат и прямоугольную декартову системы координат следует различать. В прямоугольной системе координат векторы базиса, будучи ортогональными, не обязаны быть единичными.

На втором рисунке мы видим разложение того же вектора sв базисе векторов (p,q), которые не единичны и не взаимно перпендикулярны. Векторыp и q приведённые к общему началу образуюткосоугольную систему координат.

9. Скалярное произведение векторов

Нумерацию формул и рисунков начнём заново.

Определение 1.Скалярным произведением векторовиназывается число

. (1)

Геометрические свойства скалярного произведения даются теоремами 1 и 2.

Теорема 1.Два вектораиортогональны (перпендикулярны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Условие перпендикулярности двух векторов выглядит так:

Скалярное произведение может быть использовано для проверки или для доказательства перпендикулярности векторов.

Упражнение 23. Условие ортогональности векторов.

Найти все векторы, перпендикулярные вектору . Изобразить эти векторы.

Теорема 2.Для любых двух векторови, если,, уголявляется острым тогда и только тогда, когда, и тупым – тогда и только тогда, когда.

Алгебраические свойства скалярного произведения:

1. ; 2. ;

3. ; 4. , если;, если.

Алгебраические свойства дают возможность, перемножая линейные комбинации векторов, группировать коэффициенты, как при перемножении многочленов.

Замечание 1. Свойства 2 и 3 справедливы также в форме:

) ;

) .

Упражнение 24.1.Свойства скалярного произведения векторов.

Даны векторы ,и. Используя функциюisequal, проверить свойства 1, 2,, 3,, 4 скалярного произведения векторов.

Скалярное произведение векторов обладает многими свойствами, которыми обладает произведение действительных чисел. Однако, автоматическое (бездумное) перенесение на векторы свойств действительных чисел, которыми векторы не обладают, является ошибочным. В частности, для векторов несправедлив закон ассоциативности (сочетательный закон), т.е. в общем случае

. (2)

(3)

(4)

Упражнение 24.2. Свойства скалярного произведения векторов.

Даны векторы ,и. Используя функциюisequal, убедиться в невыполнении равенств (2), (3), (4).

Приведём ещё примеры. 1) если векторы, изображённые на рисунке 2, то но 2) для векторов на рисунке 3 но

Рис.1. Рис.2.

Упражнение 25. Для самостоятельной работы.

Составить задачи с конкретными векторами, иллюстрирующие рис.1 и рис.2, а также показать для первой задачи, что но для второй – но

Пример 1. Вычисление скалярного произведения в декартовом базисе.

Пусть , –декартов базис, a=3i+4j,b=2i-j.

Найти скалярное произведение(a,b), длины векторовaиb.

Решение:

(a,b)=(3i+4j,2i–j)=(3i,2i–j)+(4j,2i–j)=(3i,2i)+(3i, –j)+(4j,2i)+(4j, –j)=

=3*2*(i,i) –3(i,j)+8(j,i) +4*(-1)*(j,j)=6(i,i)+5(i,j)-4(j,j)=3*2+5*–4*1=

=6–4= 2.

если придать вычислениям общий вид: a=a₁i+a₂j,b=b₁i+b₂j, получим:

- формула для вычисления скалярного произведения в координатной форме.

(a,a)=(3i+4j,3i+4j)=9(i,i)+24(i,j)+16(j,j)=3*3+24*0+4*4=25.

если придать вычислениям общий вид, получим:

- скалярный квадрат равен квадрату длины вектора.

- длина вектора – корень из суммы квадратов координат вектора.

(b,b)=( 2i-j, 2i-j)= 4(i,i)-4(i,j)+(j,j)=4*1*1-4*1*1*+1*1=4+0+1=5.

если придать вычислениям общий вид, получим:

.

Ответ. (a,b)=2,,.

Так как базис декартов,то есть состоит из двух единичных взаимно перпендикулярных векторов. То скалярное произведение орта самого на себя будет равно единице, т.к. длины векторов раны единице, и, произведение взаимно перпендикулярных ортов равно нулю.

В косоугольной системе координат решения и ответы будут другие.