1. Состоятельность

Оценка

чем

Достат.усл-я сост-сти:

1)

2)Д

2. Несмещенность

Оценка явл.несмещен.если ее мат.ожидание равно оцениваемому пар-ру, т.е.

Разность назыв.смещением, или систематич.ошибкой.

Для несмещ.оценок систем.ошибка оценив-я равна нулю.

3. Сравнительная эффективность.

(чем меньше дисперсия, тем более эффективна оценка)

Если и - несмещ.оценки для

Д

19

Метод моментов. Оценки дисперсии и мат.ожидания.

Метод моментов – метод оценки неизвестных параметров расп-ний.

Пусть Х₁, Х₂, …Х_n - выборка из ген.сов-сти с конечным мат.ожиданием m и дисперсией

Оценка мат.ожид-ния (выборочное среднее):

Чтобы проверить несмещ-сть и сост-сть выборочн.среднего как оценки m, рассмотрим статистику как ф-цию выборочного вектора , т.е.

По опр-ю имеем: и причем - независимые в сов-сти случ.вел-ны.

Т.к. , то явл.состоят.оценкой ген.сов-сти.

Оценка дисперсии:

Смещенная Смещение:

Несмещенная

Для проверки несмещ-сти, представим статистику S² как ф-цию выборочного вектора и вычислим :

20

Распределение XИ-квадрат, стьюдента и Фишера, их опред-я, св-ва и применение при нахождении доверительных интервалов и проверке стат.гипотез.

Распределение XИ-квадрат

с к степенями свободы – распр-е сл.вел. , равной сумме квадратов к независимых нормально распределенных по стандартному нормальному закону N(0;1) случ.вел-н т.е.распр-е случ.вел-ны

Где 1) – независ.

Распределение Стьюдента

Растр-е сл..вел.Т(к), равной отношению 2ух независимых сл..вел-н U и , т.е.

1. U – независ.сл.вел.

2. U N(0;1)

Распределение Фишера

Распр-е сл.вел. равной отн-нию 2ух независимых сл.вел-н и

21

Интервальное оценивание. Доверительные интервал для дисперсии и мат.ожидания.

При статистич.обработке рез-тов набл-ний часто необх-мо найти не олько оценку неизвестного парам-ра , но и охарактеризовать точность этой оценки. С Этой целью вводится понятие доверит.интервал.

Пусть - некот.пар-р ген.срв-сти.(мат.ожид-е, дисперсия)

Вычисляем - оценку по выборке Х₁, Х₂, …Х_n

=(Х₁, Х₂, …Х_n)

Доверит.интервалом для пар-ра назыв.интервал (), содержащий значения с заданной доверительной вер-тью (1-)

=

ур-нь значимости

=

В большой серии независимых экспериментов, в каждом из которх получена выборка объема n, в сренем (1-) 100% из общего числа построенных доверит.интервалов содержат истинное значение параметра.

При ↑объема выборки длина доверит.интервала↓.

Доверит.интервал для m ( - известна)

1. Получ.выборку Х₁, Х₂, …Х_n

2. Вычисл.

3. 

4. Нормируем статистику

5. Рисуем график

6. Место для формулы.

7. Место для формулы.

Доверит.интервал для m .

1. Х₁, Х₂, …Х_n

2. 

3. Нормир.стат-ку

4. График

5. Место для формулы.

6. Место для формулы.

Доверит.интервал для

1. 1) Х₁, Х₂, …Х_n

2. Место для формулы.

3. Место для формулы.

5. Место для формулы.

6. Место для формулы.

22

Доверительный интервал для среднего и разности средних.

При обработке рез-тов наблюдений часто необх-мо оценить разность средних 2ух совокупностей.

1)Пусть сравниваются средние 2ух ген.сов-тей, имеющие норм.распр-е соотв-но

23

Проверка стат.гипотез. Классификация гипозез. Критерий. Статистика критерия. Уровень значимости. Критическая область. Ошибки 1-го и –го рода.

Статистич.гипотеза (Н) – предположение отн-но параметров или вида распределения сл.вел.Х.

Критерий – правило, по которому принимается решение принять или отклонить гипотезу М_о.

Т.к.решение принимается на основе выборки наблюдений сл.вел.Х, необх-мо выбрать подходящую статистику Z, называемую в этом случае статистикой критерия.

Проверка стат.гипотезы основывается на принципе: маловероятные считаются невозможн., соб, имеющ.большую вер-сть – достоверные.

Перед анализом выборки назначается некоторая малая вероятность , называемая уровнем значимости.

Критерий значимости – критерий, основаны на использовании заранее заданного уровня значимости.

Множ-во всех значений статистики критерия Z, при котор.принимается реш-е отклонить гипотезу Н_о, назыв. критической областью.

Этапы проверки гипотезы (при помощи крит.знач-сти)

Ошибки 1-го и –го рода.

Проверка гипотез о равенстве дисперсий и средних.

Проверка гипотезы о виде распределения по критерию XU- квадрат.

Регрессивный анализ. Оценка параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов.

Вопросы к экзамену по курсу «Статистика» для ЭУ-2, 3 семестр 2012∕2013 уч.год

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Случайные события. Пространство элементарных событий. Алгебра событий.

2. Вероятность в дискретных и непрерывных пространствах элементарных событий.

3. Теоремы сложения и умножения вероятности.

4. Формула полной вероятности и формула Байеса.

5. Дискретные с.в.Ряд распределения. Числовые характеристики.

6. Повторение испытаний. Схема Бернулли. Биноминальное распределение. Формула Пуассона.

7. Распределение Пуассона. Геометрическое распределение.

8. Непрерывные с.в.Функция распределения и плотность распределения и их свойства.

9. Свойства мат.ожидания и дисперсии. Квантили. Мода, медиана, асимметрия и эксцесс.

10. Нормальное распределение. Вероятность попадания в интервал, симметричный относительно мат.ожидания. Асимметрия эксцесс распределения. Стандартизованное нормальное распределение и его свойство. Правило трех сигм.

11. Системы дискретных с.в. Таблица распределения. Независимость. Ковариация. Условные распределения. Системы непрерывных с.в.

12. Мат.ожидание и дисперсия суммы с.в. Мат.ожидание произведения с.в.

13. Коэффициент корреляции как характеристика статистической связи. Некоррелированность и независимость с.в.

14. Законы больших чисел и предельные теоремы. Теорема Бернулли. Теорема Чебышева.

15. Центральная предельна теорем. Теорема Муавра-Лапласа.

16. Распределение среднего арифметического независимых с.в. и относительной частоты при большом числе наблюдений n.