Исследование устойчивости по первому приближению

Теперь, для придания общности используемым алгебраическим выражениям, не теряя их компактности, рассмотрим систему 3-х дифференциальных уравнений 1-го порядка:

(3)

где функции ,, имеют непрерывные производные по переменным , причём вдоль тривиального решения: ≡0, ≡0, ≡0 эти производные постоянны, то есть: =, =, =,

=, =, =, (4)

=, =, =,

где коэффициенты – действительные числа (постоянные). В сделанных предположениях для функций: ,, можем воспользоваться разложением в ряд Тейлора: =+,

=+, (5)

=+,

где ,, – бесконечно малые порядка выше первого в окрестности точки: . Перепишем систему (3), применяя выражения (5):

(6)

Замечание: Так как системы (3) и (6) эквивалентны, то решение вопросов устойчивости для них одинаково: если решение устойчиво для (3), то оно устойчиво и для (6)!

Теперь введём в систему уравнений «неточность»: отбросим бесконечно малые φ₁,φ₂,φ₃ и заменим систему (6) системой: (7)

Систему (7) называют системой первого приближения для нелинейной системы дифференциальных уравнений (3).

Замечание: До Ляпунова при исследовании вопроса об устойчивости ограничивались в основном изучением устойчивости в первом приближении, считая, что полученный результат можно отнести и к исходной, нелинейной, системе. Ляпунов показал, что в общем случае это неверно, в то же время он дал ряд примеров нелинейных систем, для которых вопрос об устойчивости решается до конца по первому приближению!

Запишем без доказательства теоремы, которые наглядно показывают, как используются определённые в выражениях (3)-(7) величины.

Теорема: (14.1)

Если: 1) корни характеристического уравнения системы (5) имеют отрицательную действительную часть, и для функций выполняется условие: 2) , , – постоянная величина, , то тривиальное решение системы уравнений (4) устойчиво.

Замечание: Очевидно, что если тривиальное решение устойчиво для системы (6), то оно устойчиво и для системы (7), причём асимптотически. В таком случае имеем: если тривиальное решение однородной системы (7) устойчиво, то оно устойчиво асимптотически!

Так же наглядно применение теоремы, определяющей достаточные условия неустойчивости решений системы:

Теорема: (14.2)

Если: 1) хотя бы один корень характеристического уравнения системы (5) имеет положительную действительную часть, и для функций выполняется условие: 2) , , –постоянная величина, , то тривиальное решение системы уравнений (4) неустойчиво.

Если у нескольких характеристических корней, не являющихся кратными, действительные части равны нулю, а у остальных отрицательные, то движение будет устойчивым, но не асимптотически. Если среди корней имеются кратные, то устойчивости, в общем случае, не будет, даже если у остальных вещественная часть отрицательна!

Использование результатов теорем становится особенно наглядным, если применить классификацию точек покоя по тому, как «ведут себя траектории возмущённого движения» в окрестности этих точек. Для изображения траекторий движения на плоскости в окрестности точки покоя воспользуемся системой дифференциальных уравнений:

→ (8)

при начальных условиях: =0,=0.

В соответствии с теоремами об устойчивости решений имеем аналитическая характеристика точек покоя:

▪ если ни один из корней k₁, k₂ характеристического уравнения не лежит справа от мнимой оси, причем хотя бы один корень отличен от нуля, то решение устойчиво;

▪ если же хотя бы один корень лежит слева от мнимой оси или оба корня равны нулю, то решение неустойчиво.

На рисунках, представленных в таблице 1, легко видим геометрические характеристики точек покоя:

▪ если точка покоя устойчива, то при небольших отклонениях от нее с течением времени движущаяся точка возвратится в точку покоя;

▪ если точка покоя неустойчива, то при небольших отклонениях от нее с течением времени движущаяся точка удалится от точки покоя как угодно далеко.

В таблице 1 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ действительны и различны, определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией.

Таблица 1

Корни , – действительные: ≠	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
< 0, < 0. Устойчивый узел		Асимптотически устойчива.
> 0, > 0. Неустойчивый узел		Неустойчива.
> 0, < 0. Седло		Неустойчива.

В таблице 2 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ комплексные (сопряжённые), определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией.

Таблица 2

Корни = - комплексные	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
< 0, ≠ 0. . Устойчивый фокус		Асимптотически устойчива.
> 0, ≠ 0. Неустойчивый фокус		Неустойчива.
= 0, ≠ 0. Седло		Устойчива.

В таблице 3 представлен случай, когда характеристические корни системы ДУ действительные кратные, определена устойчивость системы решений и название точки покоя в соответствии с принятой классификацией. Так как для создания «зрительного образа» мы рассматриваем только системы ДУ 2-го порядка, то кратность комплексных корней не рассматриваем.

Таблица 3

Корни = – действительные: кратные	Характер точки покоя	Устойчивость точки покоя
==<0. Устойчивый узел		Асимптотически устойчива.
==>0. Неустойчивый узел		Неустойчива.

Рассмотрим несколько Примеров исследования устойчивости, начав с линейных систем вида (7), которые могли бы быть результатом линеаризации некоторой нелинейной системы дифференциальных уравнений вида (3).

••• ≡ •••

Пример 1–456: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: ==.

2). Так как α>0, β≠0, то система неустойчива: неустойчивый фокус.

Ответ: система неустойчива: неустойчивый фокус.

Пример 2–458: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: ==.

2). Так как α>0, β≠0, то система неустойчива: неустойчивый фокус.

Ответ: система неустойчива: неустойчивый фокус.

Пример 3–460: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: =.

2). Так как корни , то система асимптотически устойчива: устойчивый узел.

Ответ: система неустойчива: устойчивый узел.

Пример 4–462: Исследовать устойчивость решения системы в точке покоя:

Решение:

1). Найдем характеристические корни заданной однородной системы дифференциальных уравнений: ∆(k)==0, откуда получаем: =.

2). Рассмотрим поведение системы в зависимости от значений параметра α:

▪ пусть корни действительные: , < 0 → и < → можно неравенство возвести в квадрат: , откуда: , но не имеет решения → обеспечить устойчивость невозможно;

▪ пусть корни действительные: = → → это требует =0, или =4 при условии: → такое невозможно → и в этом случае обеспечить устойчивость невозможно;

▪ пусть корни комплексные: =. Необходимо выполнение условий → это требует (2-е неравенство: метод интервалов!) при условии первого неравенства: → такое невозможно → и в этом случае обеспечить устойчивость невозможно;

Ответ: устойчивость системы за счёт выбора параметра обеспечить не удалось.

Вопросы для самопроверки:

1. Каково назначение раздела теории ДУ: теория устойчивости?

2. Что такое: невозмущённое движение и возмущённое движение?

3. Что такое точка покоя?

4. Что значит: устойчивость тривиального решения системы?

5. Какие случаи устойчивости точки покоя реализуются, если характеристические корни системы действительные, разные?

6. Какие случаи устойчивости точки покоя реализуются, если характеристические корни системы комплексные?

7. Какие случаи устойчивости точки покоя реализуются, если характеристические корни системы действительные, кратные?

8. Как случаи устойчивости точки покоя изображаются на комплексной плоскости?

☺☺