1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

3.3. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

1)2)3)4)5)6)7)8)9)10)11) при , .

3.4.Записать матричное уравнение в виде системы уравнений:

3.5.Решите систему линейных уравнений

а) методом Крамера;

б) методом Гаусса;

в) с помощью обратной матрицы:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

3.6.Решить определённую систему линейных уравнений методом Гаусса: .

3.7.Решить определённую систему уравнений:

3.8.Решить методом Гаусса определенные системы линейных уравнений:

а) б)в)

г) д)е)

ж) з)и)

к) м)

3.9. Методом Гаусса решить неопределённую систему линейных уравнений.

3.10.а). Переставив 4-ый столбец матрицы на первое место,

разрешить неопределённую систему линейных уравнений относительно неизвестных.

б) Можно ли переменные в этой системе объявить главными?

3.11. Исследовать на совместность и найти общее решение системы:

а) б)

в) г)

3.12.Исследовать на совместность, найти общее и одно частное решение системы:

а) б)

в) г)

е)

3.13. Найти общее решение системы:

а) б)

в) г)

3.14.Найти общее решение системы линейных уравнений:

1) 2) 

3) 4) 

5) 6) 

7) 8) 

9) 10) 

11) 12) 

13) 14) 

3.15. Для каждого из значений параметрарешить систему уравнений

3.16. В период отопительного сезона в город Замерзаевск ежедневно поступает некоторое количество угля, кроме того в начале отопительного сезона имелся некоторый запас угля. Каждая котельная потребляет одинаковое количествоугля. Известно, что 70 котельных израсходовали бы весь уголь за 24 дня, а при работе 30 котельных угля хватило бы ровно на 60 дней. Сколько котельных в городе, если угля хватило на 96 дней?

Ответы на задачи к главе 3

3.1.а) Решение:.

;

.

Ответ: (–5; 5).

б) Решение: ;

;

.

Ответ: (–6; 5).

в) Решение: ;

;

;.

Ответ: (6;–7).

д) Решение:

;

.

.

.

Ответ: (–12; 0; 3).

3.2.1). ; 2). ; 3). ; 4). ; 5).; 6).; 7).; 8).; 9). ; 10). ; 11). ; 12).,.

3.3. 1).   ;2).   ;

3).   ;4).   ;

5).   ;6).   ;

7).   ;8).   ;

9).   ;10).   ;

3.4.Решение.;.

3.5.1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

3.6.Решение:

.

Ответ: = 3; = 2;= 1.

3.7.Решение. Составляем расширенную матрицу системы и приводим её элементарными преобразованиями строк к приведённому ступенчатому виду:.

Ответ:

3.8.а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

м)

3.9. Решение. Данной системе линейных уравнений сопоставим матрицу:

.

Приведём матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду: .Нулевые строчки в расширенной матрице системы можно не писать.

Сопоставим этой матрице систему линейных уравнений:

Переменные, соответствующие тем столбцам, в которых есть лидеры строк, объявляются главными (базисными), а остальные переменные объявляются свободными. Таким образом, – главные;– свободная. Выразим главные переменные через свободные.

;;;.

Свободные переменные играют роль парламентов, которые могут принимать любые действительные значения: , где tR.

Общее решение данной системы линейных уравнений имеет вид:

, , , т.е. , где tR.

3.10.а). (;;,).

б). Соответствующий минор равен –1. Следовательно, переменные можно объявить главными, так как в столбцах располагается минор максимального порядка.

3.11.

а) ;б)(3; 2t+ 1;t);

в) система несовместна;г)система несовместна.

3.12.а)общее решение: (−a + 2b +1;a + b +1;a;b);

частное решение: (1; 1; 0; 0);

б)общее решение: (−2a+2b− 1;a + 2b + 2;a;b);

частное решение: (−1; 2; 0; 0);

в)общее решение:;

частное решение: (−1; −1; 0; 0);

г)общее решение:;

частное решение: ;

е) система несовместна.

3.13.а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3.14.1)

2)

3)

4) ,

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

3.15.Указания. Система линейных уравненийс нулевым столбцом свободных членов (в правой части которой расположены только нули) называется однородной. Справедлива следующая теорема.

Теорема. Однородная система линейных уравнений cнеизвестными имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель основной матрицы системы равен нулю.

Решение.1). Перепишем систему в виде. Система имеет только нулевое решениетогда только тогда, когда определителя матрицы системы не равен нулю

Для вычисления определителя вычтем из 3-ей строки первую и прибавим ко второй строке первую, умноженную на ,

Приравниваем определитель к нулю и находим корни уравнения

:

,.

Итак,

1) прииданная система имеет единственное решение (,,).

2). При система принимает вид

Её решением является выражение главной неизвестнойчерез свободные неизвестныеи.

При общее решение системы имеет вид: (,,), где– любые числа.

3). При расширенная матрица системы приобретает вид.

.

Приводя матрицу к ступенчатому виду, получаем

Преобразуем теперь ступенчатую матрицу к приведённому ступенчатому виду

Этой матрице соответствует система уравнений

При имеемгде– любое число.

Общее решение системы в этом случае имеет вид: (,,), где.

3.16. Пусть– число котельных в городе. Тогда система трёx линейных уравнений с тремя неизвестными

;имеет некоторое ненулевое решение. По теореме получаем, что

Из первого столбца выносим а из второго –и получаем (   ).

Отсюда Ответ. 20.

Содержание