2.1. Решения.
Ответ:
Ступенчатый вид матрицы:
Приведённая
ступенчатая форма матрицы:
.
2.2. Ступенчатая форма матрицы определена не однозначно, поэтому для каждой матрицы приведены один или несколько возможных ответов:
1)
или
или
2)
или
3)
или
4)
5)
6)
7)
8)
.
2.3. 1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
;
8)
.
2.4. Решение.
1) Из первого столбца вычтем пятый:
2). Вынесем число 5 из первого столбца и затем из второй и третьей строки вычтем первую, а из четвертой и пятой удвоенную первую строки:
3). К четвертой строке прибавим вторую, а из пятой вычтем вторую, в результате получим верхнетреугольную матрицу, определитель которой равен произведению элементов её главной диагонали:
.
2.6. а) 1; б) 1; в) 3; г) 4; д) 3; е) 3; ж) 3; з) 3; и) 3; к) 1; л) 1; м) 2; н) 2.
2.7. 2.
2.9. 1). Решение.Ранг матрицы не меняется при элементарных
преобразованиях строк. Ранг ступенчатой
матрицы равен числу её ненулевых строк.
.
Ответ: ранг равен 2.
2) 3. 3) 2. 4) 2. 5) 4. 6) 4. 7) 2. 8) 3. 9) 2; 10) 3;
11) 2; 12) 3; 13) 2; 14) 3; 15) 4.
2.10. Решение:
, т.е.
Выражения
вида
называются линейными комбинациями
векторов
.
2.11.
а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) да.
2.12. 1). Решение.Составляем матрицу, располагая координаты векторов по столбцам, и приводим её к приведённому ступенчатому виду
.
Ответ:Базис
системы векторов:
, ранг равен числу векторов в базисе,
т.е. равен 2, небазисный вектор выражается
в виде линейной комбинации базисных
следующим образом
.
2).
Решение.Составляем матрицу,
располагая координаты векторов по
столбцам
,
приводим её к приведённому ступенчатому
виду:
.
Базис системы векторов:
,
ранг равен числу векторов в базисе, т.е.
равен 2, небазисные векторы выражаются
в виде линейной комбинации базисных
следующим образом:
;
.
3)базис образуют три первых вектора, ранг
равен 3,
4) базис
образуют первые два вектора, ранг равен
2,
5) ранг
равен 3, базис образуют все три вектора:
6) базис
образуют первые два вектора:
ранг равен 2,
7) базис
образуют первые два вектора:
ранг равен 2
8) векторы
образуют базис; ранг равен 3,
9) векторы
и
образуют базис; ранг равен 2;
10)
− базис; ранг равен 2,
;
11)
− базис; ранг равен 2,
;
;
12)
− базис; ранг равен 2,
;
;
13)
− базис; ранг равен 3,
;
;
14)
− базис; ранг равен 2,
;
;
.
2.13.
а).
б).
в).
д).
е).
ж).,
з).
и).
к).
л).
м).
2.14.
1)
2)
3)
4)
5) Решение:
2.15. Решение:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Следовательно,
.
Ответ.
.
2.16. А).
б). 
в). 
г). 
д). 
е). 
.
2.17. А). Решение.
.
Проверка:
.
б). 
в). 
.
г). Решение.
;
=
.
д). Решение:
;
= 
.
2.18. а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
2.19.1.
.
2.
.
3.
.
4.
.
5.
.
6.
.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
.
12.
.
13.
.
14.
.
15.
.
16.
.
17.
.
18.
.
19.
.
20.
.
21.
.
22.
.
23.
.
24.
.
25.
.
26.
.
27.
.
28.
.
29.
.
2.20.д)
е)
ж)
з)
и)
к)
2.21.Ответ:
,
где
и
– произвольные действительные числа
такие, что
.
Задачи и упражнения к главе 3. Решение систем линейных уравнений
Правило Крамера.
Рассмотрим
систему
– линейных уравнений с
неизвестными.
Определитель
, составленный из коэффициентов системы,
назовем определителем системы.
Определитель
получаемый заменой
-го
столбца в определителе
на столбец свободных членов
обозначим через
и будем называть определителем
соответствующим неизвестной
.
1). Если
,
то система линейных уравнений имеет
единственное решение, задаваемое
формулами:
,
,…,
.
2). Если
,
то система либо не имеет решений, либо
имеет бесконечно много решений.
3). Если
и хотя бы один из определителей
не равен нулю, то система не имеет
решений.
3.1.Используя правило Крамера, решить системы линейных уравнений:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
3.2.Решить методом Крамера системы линейных уравнений: