10). .

1.34.С какими знаками входят данные произведения в определители соответствующих порядков:

1). ; 2).; 3).; 4).; 5).;

6). ; 7).; 8).; 9).;

10). ; 11).; 12).;

13). ; 14).; 15). ?

1.35. Найти определитель, вычислив знак соответствующей подстановки

1).; 2).; 3).; 4).;

5). ; 6).; 7).;

8). ; 9)..

1.36. Найдите обратные подстановки:

1).,2).,3)..

1.37.Пусть– подстановка-ой степени, такая что. Вычеркнем в этой подстановке столбец. Затем в верхней строке уменьшим все числа, большие числа, на единицу. И, наконец, в нижней строке уменьшим все числа, большие числа, на единицу. Получим подстановку. Покажите, что. Выполните указанную операцию с последним столбцом подстановки.

1.38. Пусть Рассмотрим следующие подстановки-ой степени

и

.

Обозначим через множество подстановок изтаких, чтои рассмотрим взаимно однозначное отображениетакое, чтоявляется результатом удаления последнего столбцаподстановкидля любой подстановки.

Докажите, что подстановки в разложении минорамогут быть получены из соответствующих подстановок по правилу . Это правило позволяет поставить в соответствие члену определителя, содержащемув качестве сомножителя, элемент минора:

.

Докажите, что это соответствие является взаимно однозначным. . Докажите, что. Используя отображение, докажите теорему о разложении определителя по строке (столбцу).

1.39.Докажите, что определитель, элементы двух строк (столбцов) которого соответственно пропорциональны, равен нулю.

1.40. Матрица называется кососимметрической, если. Чему равен определитель кососимметрической матрицы нечётного порядка?

1.41. Чему равен определитель, если сумма его строк с четными номерами равна сумме его строк с нечетными номерами?

1.42. Чему равен определитель, одна строка которого равна сумме всех остальных строк?

1.43.Пусть – определитель Вандермонда. Доказать, что

Ответы на задачи к главе 1

1.1. a)б)в)г)д).

1.2.а); б)в); г);

д) .

1.3. A) ; б) ; в).

1.4.Нет.

1.6. 1); 2); 3); 4); 5);

6) ; 7); 8); 9); 10).

1.7. 1); 2); 3); 4); 5);

6) ; 7); 8); 9); 10).

1.8.1); 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8);

9) ; 10); 11)

12). 13)14)

15) 16) ; 17); 18);

19) . 20); 21); 22); 23);

24) ; 25).

1.9.

1)2)

3)4);

5)6)

7) 8)

9)10).

11). Следующая формула показывает, что не случайно.

Если ,то

1.10.1); 2); 3); 4); 5); 6);

7) ; 8).

1.11.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) .

1.14. а)б)в)

1.15.

1.16. а) ; б) ; в) ; г)

1.17. 1). ;2). ;3). ;4). ;5). ;6). ;7). ;8). ;9). ;10). ;11). ;12). ;13). ;14). ;15). .

1.20. 1).10;2). ;3) 3;4) ;5). 1;6). 27;7).7;8). 17. 9).;10).;11)..

1.21. 1). 72;2) ; 3). 9;4). 27;5). ;6). ;7). 0;8). 40;9). ;10). 6;

11). 20.12). –22.

1.22. 1). ;2). 3;3). ;4). 21;5). 0;6). ; 7).10;8). 12;9). 20;10)..

1.23. 1). 2.2). 0.3). 0.4). 60.5). 12.6) 6.7). .8). 0.9). 0.10). 198.11). .12). .

1.24. 1). ; 2). ;3). ; 4). ;5). ; 6). ;7). ;8). ;9). ; 10). ;11). . 12). 24.

1.29. Указание. Практическое значение теоремыо разложении определителя по строке (столбцу) заключается в следующем. Используя свойства определителей, получаем нули в какой-нибудь строке или столбце определителяn-го порядка Затем применяяо разложении определителя по строке (столбцу), переходим к определителю, порядок которого на единицу меньше. В свою очередь, определитель (п – 1)-го порядка можно свести к определителю (п – 2)-го порядка и т. д., пока задача не сведется к определителю третьего или второго порядка.

1). –56. Указание. Сведем вычисление определителя 5-го порядкак вычислению определителя 4-го порядка. Вычтем из третьего столбца определителя его удвоенный первый столбец

.

2). ;3). ;4). ;5). ;6). ; 7). ; 8). ; 9). ;10). ;11). ;12). ;13). ;14). ;15). ; 16). .

1.30. 1);

2) .

1.31. 1). Не является.2). Является.3). Является.4). Не является.

1.32. 1). , четная, знак «+»;

2)., четная, знак «+»;

3)., нечетная, знак «–»;

4). , число инверсий равно 3, нечетная, знак «–»;

5). ,число инверсий равно 2, четная, знак «+»;

6)., число инверсий равно 0, четная, знак «+»;

7). , число инверсий равно 7, нечетная, знак «–»;

8). , число инверсий равно 32, четная, знак «+»;

9).(1, 7, 2, 3, 8); декремент равен 4, четная, знак «+»;

10).; декремент равен 3, четная, знак «–».

1.33.

1).	2).	3).	4).	5).	6).	7).	8).	9).	10).	11).	12).	13).	14).	15).
–	+	–	–	+	+	–	+	+	–	–	+	+	­–	+

1.34. 1).; 2).; 3).; 4). ; 5).; 6). ; 7)..

8).;9)..

1.35. 1).,2).,3)..

1.38. Указание. Использовать задачу 1.37. Проверить, что ,и поэтому,

Отсюда

Поэтому каждый член произведения входит в определитель и притом с тем же самым знаком.

1.40. Нулю.

1.41. Нулю.

1.42. Нулю.

1.43. Указание. С помощью элементарных преобразований строк докажите, что

.

Разложив последний определитель по первому столбцу, получите равенство:

Используя это равенство, докажите формулу