Московский государственный университет экономики, статистики и информаики
М.Ю. Тельнова
В.А. Мушруб
Практикум по линейной алгебре Задачи и упражнения к главе 1. Матрицы и действия над ними. Определитель квадратной матрицы
1.1. Выполнить указанные операции со строками:
a) 
б)
в) 
г)
д) 
е) (1; 2; 1) + (1;1;2);
ж) (1; 1; 3; 2) + (1;1;3;2);
з) 4 (4; 1; 2; 0)7(2;1; 0; –5);
г) 5 (1; 3;2)2(5; 0;5) + 3(5;5; 0).
1.2.Выполнить указанные операции с матрицами:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
.
1.3. Найти матрицу
если:
а) 
б) 
в) 
1.4. Образуют ли все геометрические прогрессии с 4 членами линейное пространство?
1.5. Проверьте, что следующие три множества с заданными на них операциями являются линейными пространствами:
а).Множество всевозможных векторов (в трехмерном пространстве или на плоскости) со стандартными операциями сложения и умножения на число.
б).Множество всех многочленов
степени, не превышающейk:
,
где a
,
a
,
…, a
- произвольные вещественные числа,
).
Указание.Поскольку произведение многочлена на вещественное число и сумма двух многочленов являются многочленами, остаётся проверить выполнение аксиомам Л1) – Л8).
в). Множество непрерывных на отрезке [a, b] функцийC[a, b].
Указание. Возьмём две непрерывные
на [a, b]
функцииf (x),g (x).
Так как как сумма непрерывных функций
f (x)+g (x)
непрерывна на [a, b]
и
также непрерывна, то остаётся проверить,
что выпонение аксиомам Л1) – Л8).
1.6. Умножить строку на столбец:
1) 
;
2)
;3)
;
4)
;
5) 
;
6)
;
7)
;
8) 
;
9)
;
10)
.
1.7. Умножить матрицу на столбец:
1) 
; 2)
;
3)
; 4)
;
5)
; 6)
; 7)
; 8)
;
9)
;
10)
.
1.8.Вычислить произведения матриц.
1) 
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
;
7)
;
8)
;
9)
;
10)
;11) 
12)
13)
14) 
15)
;
16)
;
17)
;
18)
;
19)
;
20)
;
21)
;
22)
;
23)
;
24)
;
25)
.
1.9.
Вычислить
,
если
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11) Случайно ли на главной диагонали в задачах 1)-6) получаются взаимно противоположные числа?
1.10.Выполнить операции с матрицами:
1) 
;
2)
;
3)
;
4)
;
5) 
;
6)
;
7) 
;
8) 
.
1.11. Вычислить произведения матриц:
1).
;
2)
;
3) 
;
4)
;
5) 
;
6)
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
;
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
19) 
;
20) 
;
21) 
;
22) 
;
23) 
;
24) 
;
25) 
;
26) 
;
27) 
;
28) 
;
29) 
.
1.12. Положим
,
, ...,
.
Вычислить:
1.13.Проверить, что
.
1.14. Вычислить: а)
;
б)
;
в)
.
1.15.Пусть
Найти
где
1.16.Найти значение многочлена
,
если:
а)
=
;
=
=
;
б)
=
;
=
;
в)
=
;
=
;
г)
=
;
=
.
1.17.
Даны матрицы
и
Вычислить матрицу
,
если:
1). 
;
;
.
2). 
;
;
.
3). 
;
;
.
4). 
;
;
.
5). 
;
;
.
6)
;
;
.
7).
;
;
8).
;
;
.
9).
;
;
.
10).
;
;
.
11).
;
;
.
12).
;
;
.
13).
;
;
.
14).
;
;
.
15).
;
;
.
1.18. Приведите пример, показывающий, что произведение матриц некоммутативно.
1.19. Придумайте условие, при котором
для двух матрицA иBсправедливы формулы
разности квадратов, квадрата разности
и квадрата суммы:
,
.
Верны ли эти формулы для двух произвольных
квадратных матриц одного порядка.
1.20.Вычислить определители:
1)
;2)
;3) 
;4) 
;5)
;6) 
;7)
;8) 
;9)
;10)
;
11)
.
1.21. Вычислить определители по правилу треугольников или правилу Саррюса:
1). . 2).. 3)..
4).
. 5).
. 6).
.
7).
. 8).
. 9).
.
10.
. 11).
.
12).
1.22. Вычислить определители разложением по строке (столбцу).
1).
. 2).
. 3).
. 4).
.
5).
. 6).
. 7).
.
8).
. 9).
. 10).
.
1.23. Вычислить определители, используя их свойства.
1).
. 2).
. 3).
. 4).
.
5).
. 6).
. 7).
. 8).
.
9).
.
10). 
.
11). 
.12). 
.
1.24.Числа 551, 377и 319 кратны числу 29.
Докажите, что определитель
делится на 29 без остатка, не вычисляя
этот определитель.
1.25.Докажите, что определитель
делится на 2, на 9 и на 18 без остатка, не
вычисляя этот определитель.
1.26.
Числа
,
и
кратны числу
.
Не вычисляя определитель
,
докажите, что
и, следовательно, 
.
1.27.Элементами матрицы знаков
алгебраических дополнений служат знаки
«плюс» и «минус», причем в
–й
строке на
–м
месте стоит «плюс», если
–четное
число, в противном случае – знак «минус».
Составьте такую матрицу порядка: 1) три;
2) четыре; 3) пять.
В задачах 1.28.–1.29 определители можно вычислить, применяя разложение по строке (столбцу), преобразуя определители с помощью элементарных преобразований строк и используя их свойства.
Элементарные преобразования строк:
1) перемена двух строк местами;
2) прибавление к одной из строк определителя другой строки, умноженной на некоторое число;
3) умножение некоторой строки определителя на число, не равное нулю.
Напомним, что при преобразовании первого типа, определитель меняет свой знак; при преобразовании второго типа не меняется; и при преобразовании третьего типа, определитель умножается на то число, на которое была умножена строка.
1.28. Вычислить определители:
1).
; 2).
; 3).
;
3).
; 5).
; 6).
;
7).
; 8).
; 9).
;
10).
;11).
;
12) 
1.29.Вычислить определители:
1). 
;2). 
; 3). 
;4). 
;5). 
;6). 
;
7). 
; 8). 
;
9). 
; 10). 
;
11). 
; 12). 
;
13). 
;
14). 
;
15). 
;
16). 
.
1.30.Разложите определитель
1) по первому столбцу (строке);
2) по последнему столбцу (строке).
1.31. Какие из следующих бинарных отношений являются подстановками:
1)
,
2)
,3)
,4)
?
1.32. Найти знак перестановки двумя способами (по числу инверсий и при помощи транспозиций):
1). 3 2 1; 2). 2 3 1 4; 3). 3 1 2 4; 4). 2 4 1 3; 5). 5 2 3 4 1; 6). 1 4 3 2 5;
7). 6 7 2 5 1 3 4; 8). 7 2 3 1 5 4 6; 9). 6 5 3 1 2 4 7; 10). 5 3 4 7 6 1 2.
1.33.а). Найдите число инверсий в подстановке, определите ее четность и знак по числу инверсий.
б). Представьте подстановку в виде произведения независимых циклов, определите ее четность и знак по декременту.
в). Определите четность подстановки и её знак при помощи транспозиций.
1).
;2). 
;
3). 
;4). 
;5). 
;
6). 
;7). 
;
8). 
9).
;