Идеальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение, передаточная функция и АФЧХ звена имеют вид: ; .

ВЧХ, МЧХ, АЧХ, ФЧХ и ЛАХ звена соответственно равны:

;;;;.

Ниже представлены графики этих зависимостей:

Переходная характеристика и весовая функция звена равны:

ℒℒℒ;.

Примеры дифференцирующих звеньев:

1)
2) .			y = Ic ; x = Uc .
3) ;.			y = UL ; x = IL .

Во всех трех случаях имеет место идеальное дифференцирование.

Дифференцирующие звенья - лучшее средство коррекции!

Реальное дифференцирующее звено

Дифференциальное уравнение и передаточная функция такого звена имеют вид: .

Примером реального дифференцирующего звена может служить RC- цепочка:

с передаточной функцией .

Амплитудно-фазовая частотная характеристика реального дифференцирующего звена: ;

ВЧХ и МЧХ:

Причем, при ,. Вся АФЧХ расположится в первом квадранте. Так же, как для апериодического звена, можно показать, что это уравнение окружности.

АЧХ: ; ЛАХ:

Для построения ЛАХ рассматриваются две частотные области - низкочастотная и высокочастотная:

Н.Ч.: ;

В.Ч.: .

ФЧХ:

Переходная характеристика:

ℒ;

Весовая функция:.

Это звено также опережающее и его можно применять для коррекции.

Интегрирующее звено

Данному звену соответствует интегральное уравнениеи передаточная функция.

Ниже приведены частотные характеристики интегрирующего звена.

АФЧХ:; ВЧХ:; МЧХ: ; АЧХ:; ФЧХ:;

ЛАХ: .

Построение их не вызывает сложностей. ЛАХ интегрирующего звена изображена на рисунке:

Форсирующеезвено

Данное звено используется в системах автоматического управления для целей коррекции. Его передаточная функция имеет вид:

;

Частотные характеристики:

АФЧХ: ; ВЧХ:;

МЧХ: ; ФЧХ:;; при.

АЧХ: .

ЛАХ: ;

Для построения ЛАХ форсирующего звена рассматриваются области низких частот НЧ и высоких частот ВЧ:

НЧ: ;;

ВЧ: ;.

Точка пересечения ЛАХ оси ординат определяется как:

.

Квазиинерционное звено

Имеется две разновидности квазиинерционного звена, представленные передаточными функциями и. В обоих случаях корни полинома знаменателя передаточной функции (полюса звена) - положительные. Следовательно, звено является не минимально фазовым.

Для первого звена его АФЧХ: .

Соответственно ВЧХ и МЧХ: ,.

АЧХ: (такая же, как у инерционного звена).

ФЧХ: , причем, а. Следовательно, фазовая характеристика поменяла знак по сравнению с фазовой характеристикой инерционного звена.

Для построения АФЧХ звена выполним следующие преобразования:

,,,

,- получили уравнение окружности. А так каки, то графиком АФЧХ является полуокружность, расположенная в первом квадранте:

Получим частотные характеристики для второй разновидности квазиинерционного звена.

АФЧХ: ;

ВЧХ: ; МЧХ:; ФЧХ:

Для построения АФЧХ выполняются аналогичные преобразования:

;;.

АЧХ: - совпадает с характеристикой предыдущего звена и реального усилительного звена.

Звенья второго порядка. Передаточные функции

Математически модели данных звеньев могут быть представлены дифференциальным уравнением и передаточной функцией.

В зависимости от величины коэффициентов это звено может быть апериодическим второго порядка, колебательным, либо консервативным.

Примером звена второго порядка является RLC-цепочка:

Получим передаточную функциюRLC-цепочки. На основании законов Кирхгофа имеем:;;. Далее, после соответствующих подстановок и преобразований, получаем дифференциальное уравнение в операторной форме:и передаточную функцию:

.

где постоянные времени .

Другим примером может служить двигатель постоянного тока независимого возбуждения

Если составить уравнение якорной цепи и уравнение движения:

,;, то можно получить передаточную функцию:

где.

В зависимости от постоянных времени Т_миТ_ядвигатель может являться либо колебательным, либо апериодическим звеном второго порядка:

Если , то звено апериодическое 2 порядка;

Если , - колебательное звено;

Если , - граничный случай.

Представим передаточную функция звена второго порядка в виде:

где ; .

Характеристическое уравнение (смотри знаменатель передаточной функции): , корни которого:.

1. Если постоянные таковы, что , то корни. Такому звену соответствует апериодическое движение 2 порядка. Передаточная функция трансформируется к виду:.

2. Если , тогда корни- движение колебательное.

3. Если - граничный случай:.

4. Если , - консервативное звено. Физически это означает, что в данном звене отсутствует рассеяние энергии. Звено теряет свойство диссипативности. При этом .

Передаточную функцию колебательного звена можно привести к виду:

,

где - частота собственных, недемифированных колебаний (при).

, откуда,- коэффициент затухания.

1) 0 < <1 - звено колебательное.

2)  > 1 - апериодическое звено.