Бинарные деревья

• Бинарное (двоичное) дерево

Упорядоченноедерево, которое либо пусто, либо содержит корень и два поддерева.

Рис. 3. Пример двоичного дерева

• ОПИСАНИЕ УЗЛА ДВОИЧНОГО ДЕРЕВА

  Type TREE=^NODE; NODE=record KEY:char; LEFT,RIGHT:tree; End;

  Рис. 4. Узел двоичного дерева

• ПРИМЕРЫ ОПЕРАЦИЙ НАД ДЕРЕВЬЯМИ

• Обход дерева в соответствии с установленным правилом.

• Создание дерева с заданными свойствами.

• Удаление дерева.

• Включение/исключение узла с заданным значением.

• Выполнение эквивалентных преобразований дерева.

• ОБХОД БИНАРНОГО ДЕРЕВА

Цель обхода - "посещение" всех узлов дерева. В зависимости от порядка перечисления узлов дерева (алгоритма обхода) различают следующие основные виды обхода деревьев(Корень - rooT,Левое - Left,Правое - Right):

1. Сверху вниз(КЛП,TLR,-обход, префиксная запись)

2. Слева направо(ЛКП,LTR,-обход, инфиксная запись)

3. Снизу вверх(ЛПК,LRT,-обход, постфиксная запись)

* Левое и правое поддеревья (L, R) – тоже деревья, поэтому их узлы посещаются в соответствии с выбранным обходом (рекурсия).

• Лучше остановиться на этих трех обходах (см. Н. Вирт, стр.244), попытки добавить 3 оставшихся возможных обхода (КПЛ, ПКЛ, ПЛК) - лишняя трата времени.

Рис. 5. Примеры обхода бинарных деревьев

ДЕРЕВО А: КЛП: РТСТУКРУА ЛКП: СТРУКТУРА ЛПК: СТКУУАРТР ДЕРЕВО B: КЛП: 435790 ЛКП: 537490 ЛПК: 573094

• ПРИМЕР 1. ПРОЦЕДУРЫ ОБХОДА ДЕРЕВЬЕВ

{КЛП} Procedure preorder(t:tree); Begin If t<>nil then begin P(t); Preorder(t^.left); Preorder(t^.right); end; end;	{ЛКП} Procedure inorder(t:tree); Begin if t<>nil then begin inorder(t^.left); P(t); Inorder(t^.right); End; End;
{ЛПК} Procedure postorder(t:tree); Begin if t<>nil then begin postorder(t^.left); postorder(t^.right); P(t); End; end;	P(t)- вывод значения узла t и/или другие операции с текущим узлом дерева.

• ПРИМЕЧАНИЕ. См. также программу Treeobhod.exe (каталог \Программы\01_Обход) - пример трех обходов создаваемых деревьев.

ЗАДАНИЕ 1. Укажите следующие характеристики для дерева на рис. 3: a) высоту (____________) b) длину пути (____________) c) листья (____________) d) внутренние узлы (____________) Обойдите это дерево с помощью трех известных алгоритмов КЛП:__________________________ ЛКП:__________________________ ЛПК:__________________________

• ПРИМЕР 2. По заданным двум обходам нарисовать диаграмму исходного дерева:КЛП: АПЕЛРЬ ЛКП: АЕЛПРЬ

• При обходах КЛП и ЛПК однозначно восстановить исходное дерево не получится - ПОЧЕМУ?

• РЕШЕНИЕ:

КЛП: Ищем корень дерева:АПЕЛРЬ

ЛКП:Ищем ключА, выделяем поддеревья:(-)_ЛА_К(ЕЛПРЬ)_П; левое поддерево пустое.

КЛП: Ищем корень правого поддерева для вершиныА:ПЕЛРЬ

ЛКП:Ищем ключП:(ЕЛ)_Л П_К(РЬ)_П.

Левое поддерево для П: КЛП-ЕЛ,ЛКП-ЕЛ.

Корень – Е,Л-в правом поддереве.

Правое поддерево для П: КЛП-РЬ,ЛКП-РЬ

Корень – Р,Ь-в правом поддереве.

Результат выполненных действий см. на рис. 8.