3. Расчеты

3.1. Расчет прогиба катода при разнице давлений 10 атм

Согласно с пунктом III.3 технического задания прогиб дна катода, к которому крепиться катодная накладка должен быть меньше 1 мм. Рассмотрим защемленную по контуру круглую плоскую мембрану толщиной h и радиусом R>>h. Уравнение для углов поворота ωe ее плоских сечений при упругом прогибе мембраны под действием проложенного давления Р имеет вид :

(1)

где r — расстояние от центра мембраны, E- модуль упругости, ν - коэффициент Пуассона.

Интегрируя уравнение (1) дважды, получаем зависимость угла поворота от радиуса

(2)

Здесь C1 = PR2/16D и C2 = 0 — постоянные интегрирования, определяемые из условий ωe(0) = ωe(R) = 0. Поскольку, то упругий прогиб мембраны равен(3)

Постоянная интегрирования C1 = πPR4/32D находится из условия z(R)=0.

В итоге имеем следующую формулу для расчета прогиба в центре круглой мембраны:

Для численных расчетов брались следующие численные значения параметров:

Справочные данные для латуни:

Е = 91 ГПа;

v = 0,32.

Внутренний радиус дна катода R= 50мм.

Давление P= 10⁶Па

При изменении толщины катода величина прогиба меняется, как показано на рис.2.

При толщине катода 5 мм его прогиб составляет 0,15 мм что удовлетворяет техническому заданию.

3.2.Обоснование выбора длины шлангов электрической развязки

В процессе эксплуатации устройства, при подаче напряжения на катод, вода, используемая для охлаждения, находится под потенциалом катода. В свою очередь, водопроводная и сливная трубы заземлены. Катод подключается к водопроводу и сливу при помощи резиновых шлангов. Роль ограничивающего сопротивления в данном случае играет столб воды, длиной равной длине шланга. Для того чтобы ток утечки I_утпо этому каналу не вносил ошибок в измерения, необходимо чтобы значение этого тока былоI_ут ≤ 10 мА при разности потенциаловUмежду катодом и землей до 3 кВ. Следовательно, общее сопротивлениеR_общ=U/ I_ут≥0.3 МОм. Так как к катоду “параллельно” подключены два шланга, то сопротивление столба воды в каждом из нихR=2×R_общ≥0.6 МОм. Проводимость водопроводной воды сильно варьируется в зависимости от ее состава. Поэтому эта величина оценивалась экспериментально. Конструкция устройства предусматривает подключение шлангов диаметромd=8 мм, поэтому для эксперимента был подобран шланг таким же диаметром. Его длина равнялась 2 м. Эксперимент показал, что погонное сопротивление такого столба воды равноR_пгн=0.25 МОм/м. Следовательно длинаLшлангов электрической развязки должнаL ≥ R/R_пгн= 2,4 м.

3.3 Расчет охлаждения катода

Оценим поток воды в системе охлаждения.

Для этого оценим скорость v струи воды вытекающей из системы охлаждения в слив через отверстие диаметромd=8 мм. Давление водопроводаpпримем за2атм. По уравнению Бернулли:

; гдеρ= 1000 кг/м³- плотность воды.

Отсюда v=7м/с.

Учтем вязкость воды, приняв режим ее течения по трубе за ламинарный[3], тогда

v_ср= v/2.

Поток воды Jнаходится по формуле:

J = vS, гдеплощадь поперечного сечения струи.

Отсюда J =0,175∙10^-3м³/с.

Рассмотрим стационарную одномерную задачу распределения температуры в стержне воды длиной l (0≤x≤l)с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированным концомx=0если начальная температура стержня равна нулю и через конецx=lв стержень подается постоянный тепловой потокq. ПустьT(x,t)-функция распределения температуры от времени, тогда, согласно [4]:

;(4)

где , ,λ-коэффициент теплопроводности воды,c-удельная теплоемкость,ρ-плотность массы; σ-площадь поперечного сечения стрежня. Значения констант указаны в таблице 1.

l ,м	4,3 ∙10-2
λ,Вт/(м∙К)	0,6
c, Вт/(кг∙К)	4,2∙103
ρ,кг/м3	1000
σ,м2	7,9∙10-3

Для упрощения расчетов предположим что вода в систему охлаждения поступает порциями, равными объемуVсистемы. Тогда время-это период, с которым обновляется объемV.Объем V стержня вычисляется по формуле V=lσ. Следовательно период . Отсюда t ≈ 2 c.

На Рис.3 сплошной линией показан график зависимости T(x) температуры в стержне от расстояния от плоскости, через которую подается поток тепла, при t = 2 c. Температура выражена в относительных единицах. Зависимость рассчитана по формуле (4).

Рисунок 3. Распределение температуры в стержне.

Пунктирной линией на рисунке 3 указан прямоугольник, по площади равный площади под кривой T(x).Отсюда можно сделать вывод, что за времяt≈ 2 c, тепло передавается только столбу воды, площадьюσ =7,9∙10^-3м²и длинойL =8∙10^-3м, масса его равнакг.

Количество тепла Q, передаваемое воде массойm,и изменяющее ее температуру на ΔT=70º К, равно:кДж. Так как время нагрева одной порции водыt≈ 2 c, то максимальная мощность, которую может снять система охлаждения равна:

кВТ.