Вероятностная модель эксперимента с бесконечным счётным множеством исходов.

Пусть - счётное множество, следовательно его элементы можно занумеровать. В этом случае, в качестве сигма-алгебры событий принято рассматривать множество всех подмножеств – Булеан.

Формально, функцию Pможно определить на основе любого знаконеотрицательного ряда, сумма которого равняется единица..

Используя свойства числовых рядов с неотрицательными членами нетрудно проверить, доказать, что при таком определении вероятности событий, все аксиомы будут выполняться.

Геометрические вероятности.

Пусть множество между множеством , которое является бесконечным бессчётным множеством и все исходы которого предполагаются равновозможными и пусть между точками этого множества и точками некоторого множества сигма-прямой, плоскости ил пространства, имеющего длину, площадь или объём, установлено взаимооднозначное соответствие, а также, в результате этого соответствия, каждому событию А. Взаимнооднозначно соответствует помножество сигма и имеющее меру: длина, площадь или объём.

(1)

Вероятность по формуле 1.ю называется геометрической вероятностью события.

Формула 1 часто записывается в виде, с учётом того, что пространство исходов отождествлено с множеством омега.

(2)

Пример. На окружности единичного радиуса случайным образом появляются 3 точки: A,Bи С. Найти вероятность того, что треугольникABC– остроугольный.

Решение.

Будем измерять длины дуг единичной окружности между точками в таком направлении, чтобы при движении по окружности за точкой А, следовала точка B, а затемC.

Обозначим:

Тогда различным 3-м точкам на окружности, мы на координатной плоскости Oxyпоствим точки с координатамиx,y.

Пример. Два человека обедают в столовой, которая открыта с 12 часов до 13 часов. Каждый из них приходит в произвольный момент времени и обедает в течение 10 минут. Какова вероятность их встречи?

Пусть x– время прихода первого лица в столовую,y– время прихода второго, таким образом, исходы ситуации можно описать парами чисел:.