Классическая вероятность, непосредственное вычисление вероятности событий.

Если в опыте – конечное число исходов, то в качестве сигма-алгебры событий принято рассматривать множество всех подмножеств.

Из карточек разрезной азбуки составлено слово «математика», затем из этих карточек наугад выбирается одна. Рассмотрим пространства исходов.

P(а)=0,3

P(м)=0,2

P(е)=P(к)=P(и)=0,1P(т)=0,2

По условиям опыта все элементарные события – равновозможные, то есть никакое из них не имеет предпочтения в появлении по сравнению с остальными. Относительная частота появлений каждого исхода при достаточном числе повторений опыта, примерная равна.

В таких опытах принято вероятности всех исходов полагать равными между собой.

Задание или определение вероятности по формуле 1, называется классическим заданием или определением вероятности события. Вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих событий к общему числу исходов.

(1) – классическое определение вероятности

Требуется вычисление числе ,, которое как правило вычисляются комбинаторными методами.

Непосредственным вычислением событий.

Классическое определение вероятности, непосредственное вычисление вероятности.

Пример. Игральная кость подбрасывается 1 раз. Событие

A:=на верхней грани выпал чётный номер.

B:=на верхней грани выпало простое число.

A={2,4,6}

B={2,3,5}

P(A)= 3/6

P(B)=3/2

Решение задач на применение классической формулы вероятности события.

, где - непустое множество,F– сигма-алгебра подмножеств, называемых случайными событиями опыта.P– функция, называемая вероятностной мерой.

Пример

а) белых шаров.

б) черных.

а2

Из урны вынимаются по 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белые.

Решение.

Урна G:={1,…,а, а+1,…,а+б}

- неупорядоченные пары чисел.

Пусть

A:=два вынутых шара – белые.

Будем считать, что все варианты выборки – равновозможные, следовательно можно применить формулу для вычисления классической вероятности события.

Две выборки считаются разными если они отличаются составом, а не порядком.

B:= два вынутых шара – черные.

Пример.

Игральный кубик подбросили 2 раза, найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 5.

Решение.

Будем считать, что все варианты выборки – равновозможные, следовательно можно применить формулу для вычисления классической вероятности события.

Пример.

В ящике 3 белых и 4 черных одинаковой формы шаров. Из ящика наугад выбирают 3 шара сразу. Найти вероятность того, что 2 шара будут чёрными, а 1 – белый.

Решение.

По условию задачи, все выборки шаров можно рассматривать равновозможности, поэтому для вычисления любого события Xможет быть использована классическая формула.

Исходами данного опыта является выборка 3-х шаров из 7.

На комбинаторном языке – это сочетания из 7 по 3.

среди выбранных шаров – 2 чёрных, 1 белый

- выбрано – 3 шара.

Нужно рассмотреть всевозможные наборы из 2 черных шаров, а потом к каждому такому набору присоединить 1 белый.

Пример.

Из набора содержащего 10 электроламп, среди которых 4 бракованных. Случайным образом выбираются 5. Какова вероятность того, что среди выбранных ламп будут 2 бракованные.

Исходами данного опыта является выборка 5-и ламп из 10.

На комбинаторном языке – это сочетания из 10 по 5.

среди выбранных ламп – 3 без брака, а 2 с браком.

- выбрано – 5 ламп.

Пример.

Брошено 10 игральных костей. Предполагается, что все комбинации выпавших очков – равновозможные. Найти вероятность того, что выпала хотя бы 1-на 6-ка.

Игральные кубики - занумерованы.

- число очков, выпавших наj-ом кубике.

:= среди выпавших очков, хотя бы на одной кости выпало 6 очков.

:= среди выпавших очков, не на одной кости не выпало 6 очков.

Пример.

Группа, состоящая из 8 человек занимает места в случайном порядке за круглым столом . Какова вероятность того, что при этом 2 определённых лица окажутся сидящими рядом.

Задачу решить для случая а) 8 мест и б) 12 мест.

а)

событие, состоящие в том, что два определённых лица оказались сидящими рядом.

б)

событие, состоящие в том, что два определённых лица оказались сидящими рядом.