Простейшие свойства частоты, а следовательно, вероятности события.

1. 

Определение.Событие, которое не может появиться в данном опыте, называется невозможным событием, а событие, которое всегда появляется в данном опыте, называется достоверным событием.

2. 

3. 

Свойства вероятности события:

1. 

Определение.Событие, которое не может появиться в данном опыте, называется невозможным событием, а событие, которое всегда появляется в данном опыте, называется достоверным событием.

2. 

3. 

Элементарные понятия о случайных события, алгебра и -алгебра событий.

Опред.Событиевлечёт событиев данном опыте, если при каждом наступлении событиянаступает и событие. В этом случае используется записьили.

Событие также называется подсобытием или частным случаем события. А также то что оно благоприятно (благоприятствует) событию.

Производится подбрасывается игрального кубика, грани которого занумерованы от единицы до 6.

Рассмотрим событие «появление «чётного числа очков».

«выпало 2 очка».

.

«выпало 4 очка».

.

Определение.Если событие() и событие(), то событияиназываются равносильными или даже равными(в данном опыте.

Очевидно, что понятие эквивалентности событий является отношением эквивалентности на множестве всех событий в данном опыте, следовательно, множество всех событий в данном опыте разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных друг другу событий. В данных вопросах достаточно рассматривать по одному представителю из данных классов. Или даже классы принято отождествлять с некоторыми представителями.

Например, класс всех достоверных событий в данном опыте принято отождествлять с одним каким-то событием . Класс всех невозможных событий отождествляется с событием.

Определение.Событие, состоящие вне наступления событияназывается противоположным событиюи обозначается.

Пример. Имеется партия некоторых изделий, которая состоит, из какой-то части годных и какой-то части бракованных изделий. Производится опыт извлечения одного изделия.

A– извлечено годное изделие.

B– извлечено не годное изделие.

Определение.Элементарным событием (исходом) опыта, называется такое событие, которое удовлетворяет следующему условию: какое бы не было событиев данном опыте из рассматриваемого множества событий, оно влечётили.

Определение.Совокупность всех элементарных событий (исходов) опыта таких, что никакие 2 или больше не происходят одновременно, и хотя бы один исход происходит обязательно при проведении опыта, называется пространством элементарных событий опыта данного опыта.

Пространство элементарных событий данного опыта можно отождествить с достоверным событием , т.к. очевидно, если появилось элементарное событие, то осуществилось достоверное событие. Обратное: если осуществлён опыт, имело место достоверное событие, а по определению элементарных событий, появится, хотя бы один исход данного опыта.

Литература:

1. Вентцель, Овчаров. Теория вероятностей и её инженерное приложение. Учебное пособие для вузов – 2002.

2. Гмурман. Теория вероятностей и математическая статистика.

3. Гмурман. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике.

4. Данко, Кожевников, Попов. Высшая математика в упражнениях и задачах. (если издание в 2-х частях – то вторую брать, в 3-х – то третью брать).

5. Кремер – Теория вероятностей и математической статистике.

6. Ефимов. Сборник задач по теории вероятностей.

7. Д. Письменный. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам.

Любое событие Aиз рассматриваемого множества событий по отношению к которому и вводилось рассмотрение пространства элементарных исходов, также можно отождествлять с множеством исходов, благоприятствующих этому событию, т.к., наступление событияравносильно условию, что исход принадлежит множеству исходов, благоприятствующих данному событию.

Если исход принадлежит , то согласно смысла, исход влечёт событие.

Наоборот: если наступило событие , то по определению пространства элементарных исходов, то появится и какой-то в единственном числе исход. Этот исход благоприятствует событию-, то есть.

Если, то, или. Тогда.

На основании этих рассуждений, можно дать следующее определение.

Определение.Пространством элементарных событий, называется множества взаимоисключающих исходов эксперимента, таких, что каждый результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества.

Определение.Отождествление событий с подмножествами пространства элементарных событий благоприятствующих данным событиям, называется теоретико-множественной интерпретацией событий.

Событие Aможно сопоставлять множеству элементарных событий.

Для различных стохастических экспериментов бывает желательно построить множество (пространство) элементарных исходов и выяснить, как случайному событию в данном опыте ставится в соответствие подмножество описаний элементарных исходов .

В зависимости от того, что интересует нас в данном опыте, можно по-разному выбирать и описывать пространство элементарных событий.

Рассмотрим опыт с подбрасыванием 3-х разных монет. Если нас интересует, как выпадает каждая монета – гербом или цифрой, то целесообразно рассмотреть следующее описание элементарных исходов:

.

Если нас интересует только число выпавших гербов, то мы можем рассмотреть такое множество исходов:

А теперь рассмотреть событие - 2-ая монета упала гербом к верху. Тогда этому событию по описанию элементарных исходов, мы можем сделать следующее сопоставление:

Описать это событие (рассмотреть теоретико-множественную интерпретацию) на основе других исходов уже будет затруднительно.

Следовательно, при описании элементарных исходов, надо учитывать множество рассматриваемых событий, по отношению к которому, данные события будут рассматриваться как элементарные.

При практическом применении, при рассмотрении элементарных событий, можно руководствоваться следующим: это такие события, которые нельзя разбить на подсобытия.

Рассмотрим ещё один пример. Каждый из 4-х студентов может присутствовать или не присутствовать на лекции по конкретному предмету. Рассматриваются события:

A:= на лекции присутствует ровно 1 из 4-х студентов.

B:= на лекции присутствует хотя бы 1.

C:= на лекции присутствует не менее 2-х из четырёх.

D:= присутствуют ровно 2.

E:= ровно 3.

F:= все 4.

Пусть в дано случае случайный эксперимент заключается в наблюдении за 4-ми студентами и выяснению - посещают ли они лекции по конкретному предмету. И нас интересует только конкретно число студентов, присутствующих на лекции.

Через будем обозначать событие, что на лекции присутствует ровноiстудентов.

Действия над события.

В дальнейшем мы, как правило будем под достоверным событием рассматривать соответствующее множество элементарных событий, а каждое событие мы будем рассматривать как множество элементарных исходов, благоприятствующих данному событию.

Ниже мы увидим, что действия над событиями эквивалентны действиям над подмножествами множества , поэтому при пояснении этих действий используются также диаграммы Эйлера-Венна для иллюстраций теоретико-множественных действий.

(

Определение. Пусть каждому элементу (альфа из множестваI) поставлено в соответствие событие. Записьназывается семейством занумерованных событий посредством элементов множестваI(семейством индексированных событий при помощи индексов множестваI).

Определение. Совмещением (логическим произведением или просто произведением) семейства событий называется событие , состоящее в наступлении всех событий этого семейства в опыте. Такое событие обозначается какой-либо из следующих записей,,,. То есть исход принадлежит всем событиям данного множества.

Для конечной последовательности событий или бесконечной последовательности событий, будут использоваться следующие записи обозначения совмещения (произведения) этих событий:

А также развернутые записи совмещения событий в виде ,,.

,

,

В теоретико-множественной интерпретации совмещение соответствует пересечению двух событий, элементарных исходов.

Семейство событий называется семейством попарно-несовместных событий, если любые события несовместны в данном опыте – то есть не могут произойти одновременно.

Совмещение этих событий есть невозможное событие.

Пусть два стрелка одновременно производят выстрел по мешеням.

A:=1-ый стрелок попал в мешень.

B:=2-ой стрелок попал в мешень.

- оба стрелка попали в мешень.

Объединением или логической суммой семейства событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий данного семейства. Такое событие обозначается какой-либо из следующих записей: или.

Для конечной и бесконечной последовательности будут использоваться следующие записи:

,

,

В случае попарно-несовместно событий для обозначения будет использоваться также запись вида: .

Для конечной и бесконечной последовательности:

,

,

,

Опред. Разностью события Aиз событияBназывается событие, состоящее в наступлении событияBи не наступлении событияA.

Событие, состоящее в не наступлении события Aв данном опыте называется противоположным и обозначается.