Теория вероятностей

конспект лекций

Золотарёв Анатолий Петрович

Опыт, явление, событие, предмет теории вероятностей.

Определение.Опытом (испытанием, экспериментом, наблюдением) называется реальная или мысленная реализация определённого комплекса условий (действий). Всё что можно рассматривать в качестве результатов опыта называется событиями опыта или явлениями (если они несут в себе некоторую глобальность). Это различные факты, характеристики, признаки и тп.

События можно разделить на 2 класса: детерминированные и случайные.

Детерминированные события – это такие события, что они при осуществлении опыта всегда наступают или никогда не наступают.

Определение.Событие опыта называется случайным, если при осуществлении опыта оно может произойти. А может не произойти. И предсказать заранее, наступит оно или нет – невозможно.

Простейшие примеры: бросание монетки (выпадёт орёл или решка?), бросание игральных костей, изготовление изделий (на производстве).

В виду постулата о всеобщей связи между предметами и явлениями природы (мироздания) конкретно в опыте мы можем рассмотреть (проанализировать, проконтролировать, искусственно создать) или учесть лишь некоторое число условий (действий). Исключим из рассмотрения многие либо не существенные на наш взгляд, либо не известные на данный момент условия и действия. Случайное с нашей точки зрения событие является как раз закономерным итогом осуществления всего комплекса условий и действия (учтённых и не учтённых).

Эксперимент(испытание, опыт) и случайные события этого опыта называются массовыми, если он может воспроизводиться реально или мысленно неограниченное число раз.

Случайным (стохастическим) экспериментомназывается массовый эксперимент, в котором имеются случайные события и в основном рассматриваются и изучаются случайные события.

Случайным (стохастическим) экспериментомназывается массовый эксперимент, со всем комплексом учтённых и не учтённых условий и действий.

Теория вероятностей возникла из убеждения, что в массовых случайных событиях могут проявляться детерминированные закономерности. Например, массовые случайные события обладают так называемой статистической устойчивостью, суть которой будет рассмотрена ниже. Например, определить однозначно результат выпадения герба или цифры при одном подбрасывании монеты нельзя, но при многократном подбрасывании (порядка тысяч) было обнаружено, что выпадает примерно одинаковое число гербов и цифр, т.е. проявляется такая закономерность.

На данный момент можно определить, предметом теории вероятностейявляется установление и изучение закономерностей в массовых случайных событиях на основе математических моделей стохастических экспериментов.

Предмет теории вероятностей является построением математических моделей для стохастических явлений и изучения в них закономерностей.

Относительная частота события, статистическое определение вероятности событий.

Примем соглашение: место того, чтобы говорить, произведено nповторений одного и того же опыта, будем говорить, что произведеноnопытов.

Событие опыта мы будем обозначать какими либо латинскими буквами или буквами с индексом.

Пусть произведено nопытов, в каждом из которых может появиться или не появиться событиеA. И пусть событие наступилоm раз, тогда событие(1), называется относительной частотой наступления событияAв данной серии изnопытов.

Давно было замечено, что во многих опытах, частота имеет тенденцию стабилизироваться около некоторого числа. Это свидетельствует о том, что данное событие обладает определённой степенью объективной возможности появления опыта, меру которой можно представить в виде относительной частоты.

Это эмпирическое свойство случайных событий носит название устойчивости частот и позволяет ввести понятие статистической вероятности событий.

Статистической вероятностьюслучайного события называется число, около которого стабилизируется относительная частота появлений этого события при неограниченном увеличении числа повторений опыта.

Вероятность событияобозначают записью. Следовательно, относительного рассмотренного определения, вероятность приближённо равняется частоте.(2)

Под стабилизацией частотыоколо некоторого числа понимается следующее: начиная с некоторого числа, для любых пар натуральных чисел(,),, относительные частоты появлений событияAвсериях опытов мало отличаются друг от друга, и следовательно, любое из них может быть принято за значение вероятности события. В виду такой неоднозначности определения вероятности события согласно формуле в виду практической сложности установлений стабилизации относительной частоты, статистическое определение вероятности события становится неудобным при построении математической модели вероятности этих событий.