13 Формула полной вероятности

Пусть пространство элементарных событий Ω представлено в виде

Ω =Н₁+Н₂+Н₃+...+Н_n+..., где Н_k- попарно несовместные события, которые часто называют гипотезами.

Если Р(Н_k)>0 при k=1,2,..., то для любого события А справедлива формула полной вероятности

Здесь — вероятность-ой гипотезы, а — условная вероятность событияпри осуществлении данной гипотезы.

14 Примеры задач по формуле полной вероятности.

Пример 14.1. В первом ящике лежат 1 белый шар и 4 черных, а во втором ящике 1 белый и 7 черных. В первый ящик добавляются два шара, случайно выбранных из второго ящика. Найти вероятность того, что шар, выбранный наугад из пополненного первого ящика, будет черным.

Пусть А - событие, вероятность которого требуется найти. Рассмотрим события: Н₁- в первый ящик добавили два черных шара; Н₂ - в первый ящик добавили один белый и один черный шар. Тогда:,.Следовательно, по формуле полной вероятности.

Пример 14.2. В первом ящике лежат 1 белый шар и 4 черных, а во втором ящике 1 белый и 7 черных. В первый ящик добавляются два шара, случайно выбранных из второго ящика. Найти вероятность того, что шар, выбранный наугад из пополненного первого ящика, будет черным.

Пусть А- событие, вероятность которого требуется найти. Рассмотрим события: Н₁- в первый ящик добавили два черных шара; Н₂ - в первый ящик добавили один белый и один черный шар. Тогда:,,. Следовательно, по формуле полной вероятности.

Пример 14. 3. По цели произведено три последовательных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле р₁=0,3, при втором р₂=0,6, при третьем р₃=0,8. При одном попадании вероятность поражения цели r₁=0,4, при двух попаданиях r₂=0,7, при трех попаданиях r₃=1. Определить вероятность поражения цели при трех выстрелах.

Рассмотрим полную группу несовместных событий:

В₁ – было одно попадание;

В₂ – было два попадания;

В₃ – было три попадания;

В₄ – не было ни одного попадания.

Определим вероятность каждого события. По теоремам умножения и сложения вероятностей будем иметь

.

.

.

.

Пусть событие А – цель поражена. Выпишем условные вероятности поражения цели при осуществлении каждого из событий В₁, В₂, В₃, и В₄.

, ,,.

Тогда по формуле полной вероятности

15 Условия задач типового расчета по теме формула полной вероятности

Задача №1. Радиолокационная станция ведёт наблюдение за объектом, который может применять или не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью р0; если применяет - с вероятностью р1. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора.

Задача №2. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе имеются три контролёра; изделие осматривается только одним контролёром, с одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим. Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для j-го контролёра равна qj (j=1,2,3 ). Если изделие не было забраковано в цехе, то оно попадёт в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р0.

Определить вероятности следующих событий: А - изделие будет забраковано; В - изделие будет забраковано в цехе; С - изделие будет забраковано в ОТК завода.

Задача №3. Производится стрельба по цели одним снарядом. Цель состоит из трёх частей, площади которых равны S1,S2,S3 (S1+S2+S3=S). Для попавшего в цель снаряда вероятность попасть в ту или другую часть пропорциональна площади части. При попадании в первую часть цель поражается с вероятностью р1; во вторую часть - с вероятностью р2; в третью - р3. Найти вероятность поражения цели, если известно, что в неё попал один снаряд.

Задача №4. Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых n дефектных; вторая партия состоит из M изделий, среди которых m дефектных. Из первой партии берётся случайным образом K изделий, а из второй L изделий; эти K+L изделий смешиваются, и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берётся наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным.

Задача №5. Производится n независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью р1; если два снаряда - с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при n выстрелах горючее воспламенится.