7 Условия задач расчета по теме геометрические вероятности

Задача №1. На N-километровом участке линии электропередачи, соединяющей пункты А и D и проходящей через пункты В и С, произошел разрыв. Найти вероятность того, что разрыв произошел между пунктами В и С, если расстояние между пунктами А и В (измеренное вдоль линии электропередачи) равно "м" км, между пунктами С и D - "к" км.

Задача №2. Ученику, чтобы добраться от дома до школы необходимо часть пути проехать на трамвае, часть - на троллейбусе и часть - на автобусе. Интервалы движения трамваев, троллейбусов и автобусов соответственно равны "к" мин., "n" мин., "m" мин., Найти вероятность того, что ученик на пути в школу будет ожидать транспорт на остановках в сумме не более "d" минут.

Задача № 3. На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата "а" наудачу бросается монета радиуса "r". Найти вероятности следующих событий:

А = (монета попадёт целиком внутрь одного квадрата),

В = (монета пересечёт не более одной стороны квадрата).

8 Параметры к задачам по геометрической вероятности

№	a	d	k	m	n	N	r		№	a	d	k	m	n	N	r
1	8	15	6	13	8	20	3		12	11	8	3	2	17	6	4
2	11	18	7	19	8	27	4		13	9	23	6	18	19	25	3
3	8	19	20	15	4	36	3		14	9	15	5	6	19	12	3
4	8	35	20	19	19	40	3		15	12	23	20	13	8	34	5
5	13	7	4	4	5	9	5		16	8	8	6	4	5	11	3
6	12	9	5	8	4	14	5		17	12	30	15	17	18	33	5
7	10	23	18	8	15	27	4		18	8	27	20	13	14	34	3
8	15	13	6	5	13	12	6		19	16	15	20	11	3	32	6
9	10	13	2	19	10	22	4		20	8	19	5	16	15	22	3
10	16	15	4	14	11	19	6		21	16	15	13	11	4	25	6
11	14	11	8	7	5	16	6		22	7	23	21	14	7	36	3
23	10	29	14	15	20	30	4		40	16	8	3	13	3	17	6
24	11	19	7	12	15	20	4		41	15	9	7	6	3	14	6
25	16	21	9	16	12	26	6		42	14	19	20	13	5	34	6
26	12	19	18	6	12	25	5		43	12	23	17	7	19	25	5
27	14	10	3	6	12	10	6		44	8	23	10	14	16	25	3
28	10	24	14	11	16	26	4		45	14	14	20	14	2	35	6
29	12	12	6	4	14	11	5		46	7	22	10	12	16	23	3
30	11	8	15	4	2	20	4		47	13	17	9	17	6	27	5
31	13	19	14	21	4	36	5		48	8	19	17	14	5	32	3
32	14	29	11	20	19	32	6		49	16	25	17	18	9	36	6
33	11	19	10	7	17	18	4		50	10	16	6	14	9	21	4
34	7	20	14	10	10	25	3		51	17	32	16	20	18	37	7
35	13	29	21	15	13	37	5		52	10	22	9	17	13	27	4
36	13	24	10	11	21	22	5
37	9	14	6	14	6	21	3
38	7	19	13	19	5	33	3
39	8	29	15	14	21	30	3

9 Сложные события. Нахождение вероятностей сложных событий

В основе теоретико-множественного метода изложения теории вероятностей лежит предположение, что рассматриваемому стохастическому эксперименту всегда может быть поставлено в соответствие некоторое множество , точки которого выражают наиболее полную информацию о возможных результатах в данном эксперименте.

Множество  называют пространством описаний элементарных случайных событий, а его точки – описаниями элементарных случайных событий (описаниями элементарных исходов), если это множество состоит из взаимоисключающих исходов эксперимента, а каждый интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества.

С множеством  связывают некоторую систему подмножеств , обладающую определёнными свойствами, называемую алгеброй подмножеств множества. Любое множество из называется случайным событием.

Раз событие формально есть подмножество множества , то над событиями выполняются те же операции, что и над множествами.

Пусть для некоторого опыта выбрано пространство Ω элементарных событий.

Определение 9.1. Случайные события А и В в пространстве Ω называются эквивалентными или равными (обозначаются А=В), если они состоят из одних и тех же элементарных событий.

Определение 9.2. Суммой (объединением) двух событий А и В (обозначается А+Вили A) называется событие . СобытиеС означает, что в результате опыта появляется или событие А, или событие В, или оба события А и В вместе.

Определение 9.3.Произведением двух событий А и В (обозначается А^.В,илиАВ) называется событие . СобытиеС означает, что в результате опыта событие А и событие В появляются одновременно.

Определение 9.4. События А и В называются несовместными, если АВ=, то есть если эти события не могут появиться в результате опыта одновременно.

Определение 9.5.Разностью событий А и В (обозначается А\В или А-В) называется событие .

Определение 9.6. Событие Ω\А называется противоположным событию А и обозначается как .

Теорема сложения. Для любых событий А и В

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).

Следствие 9.1. Если события А и В несовместимы, то

P(A+B)=P(A)+P(B).

Действительно, в этом случае АВ=Æ и Р(АВ)=0.

Следствие 9.7. Для любого события А

Р()=1-Р(А).

Это следует из равенства А+=Ω и следствия 1.

Определение 9.8. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Определение 9.9. События независимы в совокупности, если для любых k из них выполняется соотношение:

Если это соотношение выполняется лишь при k=2 , то события называются попарно независимыми. Попарной независимости n событий (n>2) недостаточно для независимости этих событий в совокупности.

Не следует путать понятия независимости и несовместности событий. Напомним, что события А и В в опыте несовместны, если они не могут наступать одновременно, то есть

Определение 9.9. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место событие В, называется условной вероятностью события А.

Если Р(В)>0, то условная вероятность события А при условии, что произошло событиеВ вычисляется по формуле:

.

Из определения условной вероятности события следует:

Теорема умножения. Если Р(В)>0, то Р(АВ)=Р(В).

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что вероятность каждого последующего вычисляется в предположении, что все остальные события уже совершились, то есть:

.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Из теоремы произведения вероятностей можно сделать вывод о вероятности появления хотя бы одного события.

Пусть события независимы в совокупности иНайти вероятности событий:

A ={не произойдет ни одного из событий };B = {произойдет хотя бы одно из событий }.

Решение: Если не произойдут события , это значит, что будут иметь место противоположные им событияСледовательно,Воспользовавшись тем, что при независимости событий, событиятак же будут независимыми, получаем:По определению операции объединения событий, событиеВ может быть представлено в виде: Для независимых событий легко вычисляется вероятность пересечения этих событий, поэтому здесь целесообразно воспользоваться законом де Моргана. В результате будем иметь:

=или

, где q_i – вероятности противоположных событий .

Определение 9.10. Говорят, что событие A влечет событие B ( обозначается AÌB), если при наступлении события A обязательно наступает и событие B.

Если событие A состоит в том, что наудачу брошенная точка попала в область A, а событие B - в область B, то соотношение AÌB выполняется тогда, когда область A целиком содержится в области B. Если AÌB и одновременно BÌA, то A=B. Очевидно, что для любого события A имеет место включение вида ÆÌAÌW.

Определение 9.11. Пусть W - множество взаимоисключающих исходов некоторого опыта и на этом множестве задана система подмножеств F, удовлетворяющая условиям:

1) WÎF, ÆÎF;

2) из того, что AÎF, следует, что также ÎF;

3) из того, что AÎF и BÎF, следует, что AÎF, AÎF и A\BÎF.

Тогда множество F называется алгеброй событий.

Если дополнительно к перечисленным условиям выполняется еще следующее условие:

4) из того, что A_iÎF для i=1,2,..., следует, что ÎF и ÎF, то множество F называется s-алгеброй.

Элементы s-алгебры F, заданной на множестве W, называются наблюдаемыми случайными событиями.

Определение 9.12. Неэлементарное событие принадлежащее алгебре или s-алгебре событий называется сложным событием.

Под операциями над случайными событиями часто понимаются операции над соответствующими множествами. В результате можно составить таблицу соответствий между алгеброй множеств и алгеброй событий.

Обозначения	Теория множеств	Теория вероятностей
w	Элемент множества, точка	Исход, элементарное событие
W	Множество точек, пространство	Пространство исходов (элементарных событий); достоверное событие
F	s-алгебра подмножеств	s-алгебра событий
AÎF	Множество точек	Событие (если wÎA, то говорят, что наступило событие A)
=W\A	Дополнение множества A, то есть множество точек w, не входящих в A	Событие, состоящее в ненаступлении события A.
A	Объединение множеств A и B, то есть множество точек w, входящих в A или в В	Событие, состоящее в том, что произошло событие A, либо событие B
A (или AB)	Пересечение множеств A и B, то есть множество точек w, входящих в A и в B	Событие, состоящее в том, что одновременно произошло и событие A, и событие B
Æ	Пустое множество	Невозможное событие
A=Æ	Множества A и B не пересекаются	События A и B несовместны (не могут наступать одновременно)
A+B	Сумма множеств, то есть объединение непересекающихся множеств	Событие, состоящее в том, что произошло одно из двух несовместных событий
A\B	Разность множеств A и B, то есть множество точек, входящих в A, но не входящих в B	Событие, состоящее в том, что произошло событие A, но не произошло событие B
	Объединение множеств A1, A2 ,...	Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий A1,A2 ,...
	Сумма,то есть объединение попарно непересекающихся множеств A1,A2,...	Событие, состоящее в наступлении одного из несовместных событий A1,A2,,,.
	Пересечение множеств A1,A2,...	Событие, состоящее в том, что одновременно произошли события A1,A2,,,
AÌB	A есть подмножество B	Событие A влечет событие B
A=B	Множества A и B равны	События A и B эквиваленты
	Алгебра или s-алгебра множеств	Алгебра или s-алгебра событий

Отправным пунктом аксиоматического определения вероятностей событий является рассмотренная выше алгебра и s-алгебра событий.

Аксиома 1. Каждому случайному событию A поставлено в соответствие неотрицательное число P(A), называемое его вероятностью.

Аксиома 2. P(W)=1.

Аксиома 3 (аксиома сложения). Если последовательность событий А_i такова, что A_i=Æ при i ¹ j, то

P()=. (9.1)

При рассмотрении различных вопросов в теории вероятностей часто приходится рассматривать последовательности случайных событий, поэтому возникает необходимость в дополнительном предположении, названном расширенной аксиомой сложения.

Расширенная аксиома сложения. Если событие A равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместных событий A₁,A₂,...,A_n,..., то

P(A)=P(A₁)+P(A₂)+...+P(A_n )+... .

Расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности.

Аксиома непрерывности. Если последовательность событий B₁,B₂,...,B_n,... такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее и произведение всех событий B_n есть невозможное событие, то P(B_n)®0 при n®¥.

Для n совместных событий теорема сложения имеет вид

P()=-+-...+ +(-1)P(). (9..2)

Для несовместных событий имеем соотношение

В общем случае P()£).