25.1 Формула Пуассона
При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, 0,951000 вычислить трудно. В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз используют формулу Пуассона
, (25.1)
где λ=np=const – среднее число появлений события в n испытаниях.
Пример 25.1. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
N=1000, p=0,002, λ=np=2, k=3.
Искомая вероятность
.
Пример 25.2. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.
n=500, p=0,004, λ=2.
По теореме сложения вероятностей
.
Пример 25.3. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.
λ=np=1000·0,003=3
.
Пример 25.4. АТС производит в среднем n=3000 соединений в час, из них в среднем 3 соединения оказываются дефектными. Определить вероятность того, что в течение часа будет не более 6 дефектных соединений.
Решение: Искомая
вероятность равна сумме:
,
где
-
вероятность того, что в течении часа
произойдёт ровноk
дефектов. Вероятность того, что некоторое
соединение окажется дефектным, равна
p=3/3000=0,001.
Это малая величина, а число опытов
велико. Можно вычислить
с
помощью распределения Пуассона:
Пример 25.5. Срок службы для некоторого типа ламп составляет 1000 часов. Считая, что за этот срок лампа выходит из строя, определить число ламп, которые нужно заменить в течение одного часа при длительной эксплуатации радиоустройства, содержащего 2000 ламп. Найти вероятность выхода из строя за час одной, двух, трёх, 5 ламп, а также вероятность того, что за час ни одна лампа не выйдет из строя.
Решение. Число
ламп, которые надо заменить
=2000/1000=2. Случайная
величина Х – число ламп, вышедших из
строя. По формуле Пуассона
25.2 Локальная и интегральная формулы Муавра-Лапласа
Если n достаточно велико, p не сильно отличается от 0,5, имеет место формула Муавра-Лапласа, иногда называемая локальной формулой Лапласа.
,
где
. (25.2)
Из формулы видно, что одинаковые отклонения от величины np вправо и влево здесь имеют одинаковые вероятности. В формуле Бернулли это имеет место лишь при p=0.5.
Чтобы
определить вероятность того, что в 50
испытаниях по схеме Бернулли при p=0.45
событие А
наступило
30 раз, нужно воспользоваться таблицей
значений функции
.
Часто встречаются таблицы значений так
называемой "локальной" функции
Лапласа.
. (25.3)
Если n достаточно велико, а p не сильно отличается от 0,5, имеет место интегральная формула Лапласа:
.
Здесь
— функция Лапласа, значения которой
определяются из таблиц.
Для вычислений используются свойства функции Лапласа
При
t=3,5
,
и так как
- монотонно возрастающая функция, в
практических расчетах при
можно принимать
.
Пример 25.6. По данным ОТК завода, 0,8 всего объема выпускаемых микросхем не имеет дефектов. Найти вероятность того, что среди взятых наугад 400 микросхем дефекты будут иметь 80 микросхем.
Решение. В соответствии с формулой (25.2)
Pn(m)
илиPn(m)
,
где (x) табулирована.
В условиях примера n=400, m=80, p=0,2, q=0,8. Отсюда
x=
.
Из таблицы функций (x) находим, что (0)=0,3989.
Тогда искомая вероятность
P400(80)
.
Заметим, что при вычислении этой вероятности по формуле Бернулли получается достаточно громоздкое выражение
P400(80)=
.
Пример 25.7. Игральную кость бросают 800 раз. Какова вероятность того, что число очков, кратное 3, выпадает не менее 280 и не более 294 раз?
Здесь
