21 Испытания Бернулли. Формула Бернулли

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обычно эти два исхода называются “успехом” (У) или “неудачей” (Н) и соответствующие вероятности обозначают p и q. Ясно, что p 0, q³ 0 и p+q=1.

Пространство элементарных событий каждого испытания состоит из двух событий У и Н.

Пространство элементарных событий n испытаний Бернулли Ω содержит 2ⁿ элементарных событий, представляющих собой последовательности (цепочки) из n символов У и Н. Каждое элементарное событие является одним из возможных исходов последовательности n испытаний Бернулли. Поскольку испытания независимы, то, по теореме умножения, вероятности перемножаются, то есть вероятность любой конкретной последовательности - есть произведение, полученное при замене символов У и Н на p и q соответственно, то есть, например: Р( )={У У Н У Н ... Н У }=p p q p q ... q q p .

Отметим, исход испытания Бернулли часто обозначают 1 и 0, и тогда элементарное событие в последовательности n испытаний Бернулли - есть цепочка, состоящая из нолей и единиц. Например:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Испытания Бернулли представляют собой важнейшую схему, рассматриваемую в теории вероятностей. Эта схема названа в честь швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705), в своих работах глубоко исследовавших эту модель.

Основная задача, которая нас будет здесь интересовать: какова вероятность того события, что в n испытаниях Бернулли произошло m успехов?

При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событиебудет наблюдаться ровноm раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли:

(21.1)

где — вероятность появленияв каждом испытании, а— вероятность того, что в данном опыте событиене произошло.

Если рассматривать P_n(m) как функцию m, то она задает распределение вероятностей, которое называется биномиальным. Исследуем эту зависимость P_n(m) от m, 0£m£n.

События B_m (m = 0, 1, ..., n), состоящие в различном числе появлений события А в n испытаниях, несовместны и образуют полную группу. Следовательно, .

Рассмотрим соотношение:

===.

Отсюда следует, что P_n(m+1)>P_n(m), если (n-m)p>(m+1)q, т.е. функция P_n(m) возрастает, если m<np-q. Аналогично, P_n(m+1)<P_n(m), если (n-m)p<(m+1)q, т.е. P_n(m) убывает, если m>np-q.

Таким образом, существует число m₀ ,при котором P_n(m) достигает наибольшего значения. Найдем m₀ .

По смыслу числа m₀ имеем P_n(m₀)³P_n(m₀-1) и P_n(m₀) ³P_n(m₀+1), отсюда

, (21.2)

и

. (21.3)

Решая неравенства (21.2) и (21.3) относительно m₀ , получаем:

p/m₀ ³ q/(n-m₀+1) Þ m₀ £np+p,

q/(n-m₀) ³ p/(m₀+1) Þ m₀ ³np-q.

Итак, искомое число m₀ удовлетворяет неравенствам

np-q£ m₀ £np+p. (21.4)

Так как p+q=1, то длина интервала, определяемого неравенством (21.4), равна единице и имеется, по крайней мере, одно целое число m₀, удовлетворяющее неравенствам (21.4):

1) если np - q - целое число, то существуют два значения m₀, а именно: m₀ = np - q и m₀ = np - q + 1 = np + p;

2) если np - q - дробное, то существует одно число m₀, а именно единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (21.4);

3) если np - целое число, то существует одно число m₀, а именно m₀ = np.

Число m₀ называется наиболее вероятным или наивероятнейшим значением (числом) появления события A в серии из n независимых испытаний.