Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Кафедра высшей математики

Введение в Теорию вероятностей

Методические указания к практическим занятиям с индивидуальными заданиями для домашней самостоятельной работы по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика”

(для студентов всех специальностей НГТИ, всех форм обучения)

Новоуральск 2006

УДК 517

МиМ_2. 3.__________________06

Автор (составитель) к. ф. м. н., доцент Золотарев А. П.

ВВЕДЕНИЕ В Теорию вероятностей.Методические указания к практическим занятиям с индивидуальными заданиями для домашней самостоятельной работы по курсу “Теория вероятностей и математическая статистика” (для студентов всех специальностей НГТИ, всех форм обучения) .-Новоуральск, изд. НГТИ.-2006.-59с.

Рецензент: Орлов Ю. В. старший преподаватель кафедры высшей математики НГТИ.

Аннотация:

Методические указания предназначены для студентов «НГТИ», изучающих тему «Теория вероятностей» в рамках общего курса математики и в рамках курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Они ставят своей целью помочь студентам лучше усвоить теоретический и практический материал по классической теории вероятностей. В них рассматриваются основные вопросы классической теории вероятностей. В каждом разделе приводится решение типовых задач. Для закрепления материала каждому студенту группы предлагается выполнить индивидуальные задания по рассматриваемым темам.

Настоящие методические указания могут использоваться студентами всех специальностях, где ведется курс теории вероятностей.

Индивидуальные задания могут быть использованы преподавателями в процессе аудиторной и домашней работы студентов, при проведении контрольных работ, собеседований, зачётов и экзаменов для всех специальностей.

Работа рассмотрена на заседании кафедры

“___” ___________________2006

Зав. кафедрой _________________ Золотарев А. П.

Согласовано:

Председатель методической

комиссии НГТИ д. т. н., профессор:________________Беляев А Е

Содержание

5 Параметры для задач по классической вероятности 12

8 Параметры к задачам по геометрической вероятности 15

12 Параметры к задачам по теме сложные события 24

16 Параметры к задачам по формуле полной вероятности 29

20 Параметры к задачам по формуле Байеса 34

23 Задачи на применение формулы Бернулли 40

24 Параметры к задачам по формуле Бернулли 41

25.1 Формула Пуассона 44

Нормированное нормальное распределение 52

Значения экспоненциальной функции ex 53

1 Опыт, явление, событие

Определение 1.1. Опытом (испытанием, экспериментом, наблюдением) называется реальная или мысленная реализация определенного комплекса условий и действий.

Результаты опыта можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика опыта называется событием или явлением, если событие несёт в себе некоторую глобальность.

Определение 1.2. Событие называется случайным, если при осуществлении определённой совокупности условий S, то есть опыта, оно может либо произойти, либо не произойти.

Случайным (стохастическим) экспериментом будем называть эксперимент, в котором имеются случайные события и в основном рассматриваются и изучаются случайные события.

В дальнейшем, вместо того чтобы говорить “совокупность условий S осуществлена”, будем говорить кратко: ”произведено испытание (опыт)”. Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Случайный эксперимент (испытание, опыт) и случайные события этого опыта называются массовыми, если он может воспроизводиться реально или мысленно неограниченное число раз.

Теория вероятностей возникла как наука из убеждения, что в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности. Теория вероятностей изучает данные закономерности.

Например: определить однозначно результат выпадения "орла" или "решки" в результате подбрасывания монеты нельзя, но при многократном подбрасывании выпадает примерно одинаковое число "орлов" и "решек".

Определение 1.3. Элементарными событиями (исходами) будем называть такие результаты, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) никакие два (или больше) исхода не происходят одновременно и, хотя бы один исход  происходит обязательно;

2) каково бы ни было событие А из рассматриваемого множества событий, по элементарному исходу  можно определить, произошло А или нет.

Совокупность Ω всех исходов опыта называют пространством элементарных событий.

Не всегда бывает легко выделить и описать пространство Ω элементарных событий.

Для различных стохастических экспериментов, желательно построить множество  и выяснить:

как случайному событию , связанному с данным экспериментом, ставится в соответствие подмножество пространства описаний элементарных исходов,

какая взаимосвязь результатов операций над случайными событиями и результатов соответствующих операций над подмножествами пространства .

В зависимости оттого, что интересует нас в данном опыте, можно по-разному выбирать и описывать пространство элементарных событий.

Пример 1.1. Одновременно бросают три разные монеты. Если нас интересует, как выпадает каждая монета (кверху гербом или цифрой), то целесообразно рассмотреть пространство элементарных событий Ω₁ ={ГГГ, ЦГГ, ГЦГ, ГГЦ, ЦЦГ, ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦЦ}, где, например, элементарное событие ЦГГ означает, что первая монета выпала кверху цифрой, а вторая и третья - гербом. В другом случае, если нас интересует только число выпавших гербов, то имеет смысл рассматривать пространство элементарных событий Ω₂ = { 0, 1, 2, 3 } , в котором каждый элемент равен числу выпавших гербов. Если же важно знать, как упали монеты одинаково ( то есть все гербом кверху или цифрой кверху ) или нет, то достаточно рассмотреть, например, пространство элементарных событий Ω₃ = { + , - }, где “+” означает, что все монеты упали одинаково, а “-” - различно.

Пример 1. 2. Рассмотрим тот же опыт, что и в примере 1. Если событие А₁ - вторая монета упала гербом кверху, то в пространстве элементарных событий Ω₁ А₁ = { ГГГ, ЦГГ, ГГЦ, ЦГЦ }, а в пространстве Ω₂ А₂ = { 1, 2, 3 }.

Если же событие А₂ - выпал только один герб, то в пространстве Ω₁

А₂ = { ЦЦГ, ГЦЦ, ЦГЦ }, а в пространстве Ω₂ А₂ = { 1 }. По отношению к Ω₃ характеризовать события А₁, А₂ становится затруднительным, поэтому при описании (рассмотрении) пространства Ω элементарных событий должно учитываться множество всех рассматриваемых событий.

Пример 1. 3. Каждый из четырех студентов, проживающих в одной комнате общежития, может присутствовать или не присутствовать на лекции по теории вероятностей. Рассматриваются события:

A - на лекции присутствует ровно один из четырех студентов ;

B - на лекции присутствует хотя бы один из четырёх студентов;

C - на лекции присутствуют не менее двух из четырех студентов;

D - на лекции присутствуют ровно два из четырех студентов;

E - на лекции присутствуют ровно три из четырех студентов;

F - на лекции присутствуют все четыре студента.

Начнём с построения пространства элементарных исходов (элементарных событий) рассматриваемого эксперимента. Вспомним, что таким пространством называется любое множество  взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. В данном случае случайный эксперимент заключается в наблюдении за четырьмя студентами и выяснении, посещают ли они лекции по теории вероятностей. Нас интересует только количество студентов, присутствующих на лекции. Пусть элемент описывает элементарный исход, означающий, что на лекции присутствовало ровноi студентов. Тогда Все случайные события формально есть подмножества множества описаний элементарных исходов. Выпишем формально все события, о которых идет речь в условии задачи. Для этого нужно перечислить описания элементарных исходов, благоприятствующих каждому из этих событий, то есть обеспечивающих появление этих событий. Таким образом, будем иметь: