3.2.3 Связь центральных и начальных моментов

, ,

,

, ……………

Для симметричного относительно распределения все центральные моменты нечётного порядка равны нулю.

3.2.4 Коэффициент асимметрии

• Для несгруппированной выборки ;

• Для дискретного распределения выборки ;

• Для интервального распределения выборки .

Для симметричного относительно распределения выборки её асимметрияравна нулю, . Приграфик эмпирической плотности в среднем смещён отх=вправо, присмещениевлево.

Чем больше абсолютная величина коэффициента Аs, тем больше степень «скошенности». Для неё можно вычислить среднюю квадратическую ошибку. Если, то асимметрия существенна и распределение Х обладает существенной асимметрией, в противном случае наличие асимметрии – влияние случайных обстоятельств.

5. Коэффициент эксцесса .

• Для несгруппированной выборки ;

• Для дискретного распределения выборки ;

• Для интервального распределения выборки .

При распределение называютостровершинным, прираспределение называютплосковершинным.

Для нормального распределения Ек=0.

Рисунок 11

Средняя квадратичная ошибка для эксцесса .

4.4.3 Коэффициент вариациион показывает относительную степень разброса элементов выборки по отношению к их среднему значению. С помощью коэффициента вариации можно сравнить вариационные ряды по относительной степени разброса даже приразличных единицах измерения.

Чем больше значение V, тем сильнее элементы выборки «разбросаны»,Vможет принимать значения больше, чем 100%.

Пример 6

Дан статистический ряд распределения выборки

Х	1	3	5	7	9
	10	40	20	20	10

Вычислить среднее значение для Х и его стандартное отклонение. Найти начальные и центральные моменты первых четырёх параметров, определить коэффициенты асимметрии, эксцесса и вариации.

Решение:

Объём выборки n= 10 + 40 + 20 +20 + 10 =100, число вариант k = 5.

1) ;

2)

Из свойства 8 получаем

Начальные моменты первых четырёх порядков:

(110 + 340 + 520 + 720 +910)= 4.6 ,4.6 ;

(1²10 + 3²40 + 5²20 + 7²20 +9²10)=26.6 ;

(1³10 + 3³40 + 5³20 + 7³20 +9³10)=177.4;

(1⁴10 + 3⁴40 + 5⁴20 + 7⁴20 +9⁴10)=1293.8.

Центральные моменты первых четырёх порядков (при 4,6) могут быть вычислены по формулам:

((1– 4.6 )¹10 + (3– 4.6 )¹40 + (5– 4.6 )¹20 +

+(7– 4.6 )¹20 + (9– 4.6 )¹10)==5.44,

, ,.

Поскольку начальные моменты уже найдены, вычислим центральные моменты первых четырёх порядков иначе:

,

26,6 – 4.6²= 5.44, (),

=177.4 – 34.626.6 + 2(4.6)³ =

=177.4 – 367.08 + 194.672= 4.992,

=1293.8 – 44.6177.4 +6(4.6)²26.6 – 3(4.6)⁴=

=1193.08 – 3264.16 +3377.136 – 1343.227 = 64.55 .

При вычислении найдено значение, тогда. Объём выборки достаточно большой, дисперсию не исправляем и.

Коэффициент асимметрии , положительное значение показывает относительное смещение эмпирической плотностивправо от =4,6 (в среднем). Из условияполучимт.е. можно говорить онесущественнойасимметрии в генеральной совокупности.

Коэффициент эксцесса , отрицательное значение показывает плосковершинность функции.

Коэффициент вариациипоказывает приблизительно пятидесятипроцентный разброс.