Глава 3 Числовые характеристики выборки

3.1 Выборочное среднее, выборочная дисперсия

и среднеквадратичное отклонение

Для выборки, как и для значений дискретной случайной величины Х, можно найти числовые характеристики: выборочное среднее(аналог математического ожидания М(Х) ),выборочную дисперсию,выборочное среднее квадратичное отклонение(стандартноеотклонение, среднее квадратическое отклонение,).

3.1.1 Несгруппированные данные

• Выборочное среднее ;

• Выборочная дисперсия ;

• Выборочное среднее квадратичное отклонение .

Для вычисления ,D_вииногда удобнее воспользоваться

(аналогичными свойствам числовых характеристик М(Х), D(X), (X)

случайной величины) :

; ;

; ;

5) 0,только для выборки с одной вариантой;

; ;

(второй способ вычисления дисперсии).

Из свойства 8 получаем .

2. Взвешенный вид

Если варианта x_iповторяетсяn_i раз, то говорят, чтоимеетчастоту иливесn_i .Пусть задано дискретное распределение выборки

Х	x1	x2	……………	xk
nx	n1	n2	……………	nk
wx	w1	w2	……………	wk

При этом формулы для вычисления и примутвзвешенный вид:

• ;

• 

Из свойства 8 получаем ;

Если вместо частоты n_i рассматривать относительную частоту

то формулы примут вид:

• ;

• 

Из свойства 8 получаем ;

3.1.3Для интервального распределения приkпромежутках из каждого промежутка с номеромiвыбирается егопредставительx_i⁰

(обычно берется середина промежутка ).

При этом распределение сводится к дискретному случаю

Х	x1	x2	……………	xk
nx	n1	n2	……………	nk
wx	w1	w2	……………	wk

Формулы для вычисления и принимают вид:

• ;

• ,

где n_i и w_iчастота и относительная частота попадания вi-й промежуток.

Из свойства 8 получаем ;

3.1.4Введение «ложного нуля»

Для удобства вычислений вводится произвольное значение и все варианты уменьшаются нас, рассматривая распределение новой случайной величиныY=X–c для которойс теми же частотамиn_i .

Обычно «ложным нулем» берется варианта с наибольшей частотой, либо варианта, наиболее близкая к середине распределения. Если , тот.е. среднее для нового распределения равно нулю. В общем случаеY=X–с, тогда по свойству .

Вывод:При введении «ложного нуля»х=ссреднее смещается на величинус, а дисперсия и среднее квадратичное не изменяются.

3.2 Коэффициенты асимметрии, эксцесса и вариации

3.2.1 Начальные моменты p-го порядка

вычисляются по формуле

В частности, начальные моменты малых порядков:

Первого порядка ,

Второго порядка ,

Третьего порядка ,

Четвёртого порядка ,

……………………………………………………………….. .

2. Центральные моменты р-го порядка

вычисляются по формуле

В частности, центральные моменты малых порядков:

Первого порядка ;

Второго порядка ,;

Третьего порядка ;

Четвёртого порядка и т.д.