6.5 Сравнение наблюдаемой относительной частоты альтернативного признака с его гипотетической вероятностью

Если вероятность р=р_опоявления события А (альтернативного признака) предположить гипотетически (из каких – либо дополнительных соображений), то её значение можно сравнить с точечной оценкой такой вероятности относительной частотой появления признака в выборке.

Выдвигается нулевая гипотеза Н_о– отличие относительной частотыи предложенной вероятности является случайным. Критерием гипотезы служит случайная величина, которая имеет нормальное распределение с параметрамиM(U)=0 и.

В таком случае значение сравнивают с(критическая область двусторонняя). Критическое значениенаходится из условия, аргументфункции ЛапласаФ(х) смотрится в таблице (приложение 2) по полученному значению.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу;

В противном случае расхождение относительной частоты и вероятности альтернативного признака считают существенным и нулевую гипотезу отвергают.

Замечание: Для выполнения нулевой гипотезы удовлетворительные результаты обеспечивает выполнение неравенства .

Пример 12

По 100 независимым испытаниям найдена относительная частота события . При уровне значимостипроверить нулевую гипотезу о вероятности данного событияр_о=0,12.

Решение:

• Найдём наблюдаемое значение критерия

;

• Критическую точку найдём из равенства ;

• По таблице значений Ф(х)находим=1,96.

Поскольку , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Можно говорить, что наблюдаемая относительная частота незначительно отличается от гипотетической вероятности.

7 Доверительные интервалы

7.1 Понятие доверительного интервала

Пусть известна – эффективная состоятельная и несмещённая точечная оценка некоторого параметрараспределения случайной величины Х.Доверительным интерваломдля такой оценки называется интервал с центром ви радиусом, который с вероятностью не меньше указанного«накрывает» реальное значение ,т.е. .

Используя техническое обозначение допустимых отклонений доверительный интервал можно записать .

Зная точечную оценку и дисперсию для параметра теоретического распределения можно найти интервальную оценкутакого параметра – доверительный интервал при указанном уровне достоверности.

Для нормального распределения параметрами являются аи, нахождение доверительных интервалов для них показаны в пунктах 6.3 и 6.4.

Для произвольной случайной величины Yс известным математическим ожиданиемM(Y) выполненонеравенство Чебышева:.

Если в неравенстве Чебышева взять , то получим, из чего получаем важныйвывод:

Вероятность попадания случайной величины вне интервала, центр которого – ожидаемое значение и радиус пропорционален , быстро убывает при увеличении коэффициента пропорциональности. При этом вероятность попаданияYв сам интервалбыстро приближается к единице при увеличении коэффициента. При фиксированной достоверностислучайной величине с большей дисперсией соответствует доверительный интервал большего радиуса.