6.3 Критерий согласия Романовского

Критерием является не сама случайная величина (подробно описанная в п. 5.2), а новая случайная величина, гдеr–число степеней свободы . Критической точкой данного критерия являетсяY=3.

Если величина (r– число степеней свободы), то нулевая гипотезаН₀о виде распределенияотвергается, данные согласуются плохо. В противном случае Н₀ не отвергается, считают расхождение выборочных данных с предложенным распределением только случайными;

6.4 Критерий согласия Колмогорова

Для использования критерия Колмогорова требуется в качестве пар значений использовать значения эмпирической функции распределения и значения функции распределенияиз предложенного распределения. Если даны не такие значения, то их можно найти по п.3.5.

По значениям инаходится вспомогательная величинаи с её помощью.

Согласованность данных – вероятность отклонения, не меньшего наблюдаемого , находится из равенства. Для нахожденияиспользуется таблица (приложение 7).

Если мало, то нулевая гипотеза о виде распределения Н₀отвергается , данные согласуются плохо.

В противном случае Н₀ не отвергается , считают расхождение выборочных данных с предложенным распределением только случайными;

Критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова можно не ограничиваться, существуют и другие критерии согласия.

Рекомендуем не ограничиваться одним видом распределения, можно для страховки предположить ещё и другой вид распределения. В таком случае придётся найти параметры и другого предполагаемого распределения, необходимые для критерия согласия теоретические значения и применить повторно уже использованный критерий согласия.

Среди нескольких видов распределения выбирается наилучшее с точки зрения использованного критерия (имеющее наименьшее либо наибольшее);

Пример 11:

Воспользоваться критериями Пирсона, Романовского и Колмогорова для проверки гипотезы о согласованности наблюдаемых частот и вероятностей соответствующих вероятностей значений Х=х_i(неизвестные) при предположении нормального распределения выборки, заданных таблицей:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	3	4	6	11	10	7	5	2	1
	0,02	0,04	0,09	0,15	0,20	0,20	0,15	0,09	0,04	0,02

Решение:

Объём выборки n= 1 + 3 + 4+ 6 + 11 + 10 + 7 + 5 + 2 + 1 = 50.

Результаты дальнейших вычислений представим в виде сводных таблиц.

1) Критерий Пирсона

Частоты крайних промежутков малы, объединим их с соседними промежутками, пока не получим частоты , соответствующие им вероятностисложим. Число промежутков при этом уменьшится, станетк=6.

Найдём значение несколькими способами.

Сводная таблица 1 для вычисления

i
1	8	0,15	7,5	0,5	0,25	0,03333	8,53333
2	6	0,15	7,5	–1,5	2,25	0,30000	4,80000
3	11	0,20	10	1,0	1,00	0,10000	12,10000
4	10	0,20	10	0,0	0,00	0,00000	10,00000
5	7	0,15	7,5	–0,5	0,25	0,03333	6,53333
6	8	0,15	7,5	0,5	0,25	0,03333	9,53333
	50	1,00	50	–	–	0,49999	51,49999

По столбцу 7 сводной таблицы 1 получим .

Если сумма выравнивающих частот мало отличается от объёма выборки , то можно применять другое правило вычисления(столбец 8)=51,49999 –50=0,49999.

Результаты не отличаются, что говорит об отсутствии ошибок.

Значение можно было так же найти, сравнивая относительные частотыс вероятностямииз условия (см. сводную таблицу 2).

На каждом промежутке найдём наблюдаемую относительную частоту (см. 3 столбец сводной таблицы 2),,.

Сводная таблица 2 для вычисления

i
1	8	0,16	0,15	0,01	0,0001	0,000667
2	6	0,12	0,15	-0,03	0,0009	0,006000
3	11	0,22	0,20	0,02	0,0004	0,002000
4	10	0,20	0,20	0	0	0,000000
5	7	0,14	0,15	-0,01	0,0001	0,000667
6	8	0,16	0,15	0,01	0,0001	0,000667
	50	1,00	1,00	–	–	0,010001

В результате получим =50ּ0,010001=0,50005.

Полученное значение незначительно отличается от найденного в сводной таблице 1 значения из-за округления чисел.

По критерию Пирсона найденное значение сравниваем с критическим значением.Число степеней свободы при нормальном распределении=6 – 3 = 3, (число промежутков из-за объединения промежутков уменьшилось, сталок=6).

Из таблицы значений (приложение 4) находим , что,,.

Возьмём уровень достоверности =0,99 (т.е. 99%), тогда=0,01 и( 0,5 <11,3 ) , из чего следует, что расхождение выборочных и теоретических данных только случайное, данные согласуются хорошо.

Вывод: Гипотеза Н₀о нормальном распределении исследуемого признака не отвергается.

2. Критерий Романовского

Выше найдено , число степеней свободыr=к–3= 3, т.е.

, нет оснований отвергать гипотезу Н₀.

3) Критерий Колмогорова

Составим сводную таблицу 3, в которой найдём значения эмпирической функции распределения выборки и теоретическую функцию распределения. Если бы выборка была задана статистическим рядом распределения, томогли бы быть найдены точнее, из нормального распределения. В данном случае её значения находим, как сумму вероятностей для вариант, не превосходящих.

Сводная таблица 3 для вычисления

i
1	1	0,02	0,02	0,02	0
2	3	0,04	0,08	0,06	0,02
3	4	0,09	0,16	0,15	0,01
4	6	0,15	0,28	0,30	0,02
5	11	0,20	0,50	0,50	0
6	10	0,20	0,70	0,70	0
7	7	0,15	0,84	0,85	0,01
8	5	0,09	0,94	0,94	0
9	2	0,04	0,98	0,98	0
10	1	0,02	1,00	1,00	0
	50	1,00	–	–	–

Наибольшая разность =0,02.

При n=50 найдём.

Табличное значение (приложение 7) , что говорит о почти стопроцентном согласовании выборочных и теоретических данных.

Нет причины отвергать нулевую гипотезу о виде распределения.