6.2 Критерий согласия Пирсона

Критерием является случайная величина Хи-квадрат выборочная, вычисляемая по выборочным данным с использованием одного из правил ,,,

где n– объем выборки;

k – число вариант либо промежутков разбиения.

Если некоторый промежуток имеет малую частоту , то его объединяют с соседним промежутком, суммируя частоты, число промежутковkпри этом уменьшается;

n_i –частота иw_i– относительная частотаi–го промежутка, полученные

из статистического распределения выборки;

–выравнивающая частота и P_i– вероятность попадания дляi–го

промежутка, вычисленные из теоретического распределения.

Значение показывает суммарное отличие (относительное) между данными парами чисел (наблюдаемого значения и значения, получаемого из предложенного распределения). является случайной величиной, при повторной выборке того же объёма может получится другое её значение. Прислучайная величинаимеет распределение Хи-квадрат сrстепенями свободы,, гдеk– количество пар чисел,р– число параметров предполагаемого распределения плюс 1.

Например

Для распределения Пуассона ; Для равномерного распределения ; Для нормального распределения и т.д.

Критическая область для критерия Пирсона чаще всего берётся правосторонней, из условия ,.

Критическая точка критерия зависит от выбранного уровня значимости и числа степеней свободы, находится по таблице критических точек распределения Хи-квадрат (приложение 5), либо по графику квантильных функций (Рис. 22). Область принятия гипотезы.

Перечислим последовательность действийдля применения критерия Пирсона (Хи-квадрат):

• Вычисляется значение;

• Задавая уровень достоверности , находится уровень значимости,

(обычно берется 0.01 при=99%, 0.05 при=95% или 0.1 при=90%);

• Определяется число степеней свободы ,

где k– число пар значений,t– число параметров распределения плюс 1;

• По таблице значений (приложение 5) либо по Рис. 22 находится;

• Если , то гипотезаН₀о виде распределенияотвергается, данные согласуются плохо.

Если , то гипотезаН₀о виде распределенияне отвергается,считают расхождение выборочных данных с предложенным распределением только случайными (уровень согласованности не ниже указанного) .

При увеличении толькоуровня достоверности (уменьшении уровня значимости ) значение уменьшается, при увеличениитолькочисла степеней свободы увеличивается.

Существует и другая интерпретация критерия Пирсона (Хи-квадрат): по найденному можно с помощью другой таблицы (либо с помощью программного обеспечения) найти уровень согласованности (достоверности) по объёму выборки и числу степеней свободы. Результатом является вероятность согласования выборочных и предполагаемых данных. Если такой уровень устраивает, то можно считать отличие пар данных только случайным. В противном случае пары чисел согласуются плохо.

Если вычислить для двух или более предполагаемых распределений по одним и тем же выборочным данным, то для данной выборки лучшее приближение даёт распределение с наименьшим значением.