6 Проверка гипотезы о виде распределения

6.1 Общие определения

Пусть имеется несколько пар числовых значений, одни из которых наблюдаемые и другие ожидаемые из предложенного распределения. Предполагается, что пары значений отличаются незначительно, их отличие является случайным. Если в каждой паре значения одинаковые, то и без математической обработки ясно, что отличия нет. Сложнее является случай ненулевых отличий хотя бы в некоторых парах. Возникает вопрос о критерии оценки общего отклонения данных (их согласованности) и об анализе полученного значения.

В качестве наблюдаемых в данной выборке значений могут быть взяты – относительная частота каждой варианты либо попадания в промежуток с номеромi. Ожидаемыми значениями при этом берут– вероятность появления значениях_i либо попадания в промежуток с номеромi, она находится по виду предложенного распределения.

Сравниваться могут также частота попадания в промежуток и соответствующаявыравнивающая (теоретическая)частота (при интервальном распределении),.

По имеющимся данным выдвигаются две гипотезы:

нулевая гипотеза Н₀– пары чисел отличаются незначительно, отличия являются случайными (вероятность их разницы стремится к нулю), предложенное распределение согласуется с выборочными данными,

альтернативная гипотезаН₁– пары чисел отличаются существенно, предложенное распределение плохо согласуется с выборочными данными и должно быть отвергнуто.

С помощью обработки пар чисел подтверждается одна из двух альтернативных гипотез. При этом уровень значимости обычно обозначается– вероятность отвергнуть правильную гипотезу, называемаяошибкой первого рода.Ошибка второго рода– вероятность принять неправильную гипотезу. Использованная для проверки гипотезы вспомогательная случайная величинаYназываетсястатистическим критерием (или простокритерием). Совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается, называетсяобластью принятия гипотезы(областью допустимых значений). Совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, называетсякритической областью. Точки, отделяющие критическую область от области принятия решений, называютсякритическими точками.

По виду критической области различают одностороннюю (правостороннюю либо правостороннюю) и двустороннюю критические области:

• Критическая область, где критерий больше положительного критического значения y₂, называетсяправосторонней;

• Критическая область, где критерий меньше отрицательного критического значения y₁, называетсялевосторонней;

• Критическая область, где критерий меньше первого критического значения y₁или больше второго критического значенияy₂, называетсядвусторонней. При симметрииy₁иy₂относительно начала координат двустороннюю критическую область для критерияYможно задать неравенством |Y|> y_крит.

Мощностью критерияназывается вероятность попадания критерия в критическую область при справедливости конкурирующей гипотезы. Мощность критерия является вероятностью отвергнуть нулевую гипотезу, когда справедлива конкурирующая гипотеза. Единственный способ одновременного уменьшения ошибки первого рода и второго рода (при увеличении мощности критерия) состоит в увеличении объёма выборок.

Для проверки согласованности данных можно использовать критерии согласия, которые носят имена Пирсона, Романовского, Колмогорова и др. Критерии согласия не дают ответа, верно ли предложен вид распределения генеральной совокупности (исследуемой случайной величины Х). Результатом является ответ, согласуются ли пары значений (что могло являться недостатком способа отбора, при котором получилась нерепрезентативная выборка) либо их согласованность низкая.