5.2.5 Распределение Стьюдента

Пусть имеется нормально распределённая случайная величина Uс параметрами(нормированная) и случайная величинаV, независимая сUи имеющая распределение Хи-квадрат сrстепенями свободы. В таком случае говорят, что случайная величинаимеетраспределение Стьюдента, называемоеt–распределением (Стьюдент – псевдоним английского учёного В. Госсета).

Плотность распределения Стьюдента ,

где .

Распределение Стьюдента однозначно описывается числом степеней свободы r.

На Рис.23 показаны плотности распределение Стьюдента при числе степеней свободы 1 , 3 и 50.

По рисунку 23 видно, что плотность распределения Стьюдента симметрична относительно оси ординат, является чётной. Для неё ,. При необходимости вычислить вероятность симметричного отклонения Т от нуля используют чётность,, где– критическая точка распределения Стьюдента для двусторонней области.

Правосторонняя и левосторонняя критические области с уровнями значимости и 1-имеют симметричные относительно нуля критические точки. Двусторонняя область является объединением двух односторонних областей – заштрихованная часть оси Ох на Рис. 24 (либо дополнением их объединения до числовой прямой – не заштрихованная часть оси Ох на Рис. 24). Критические точки (квантили) распределения Стьюдента можно найти по таблице приложения 7 (двусторонняя область имеет в 2 раза больший уровень значимости, чем для односторонней области). Для двусторонней критической области, для которойили, критические точки симметричны относительно начала координат. Правую критическую точкудвусторонней области(и симметричную ей точку -) можно найти как критическую точку односторонней области, из условия .

Распределение Стьюдента при увеличении степеней свободы приближается к нормальному нормированному распределению с плотностью распределения . При достаточно небольшом числе степеней свободы плотность распределения Стьюдента более пологая, чем нормальная кривая.

Критические точки распределения Стьюдента легче воспринимаются по графику квантильной функции, обратной для функции распределения. Для неё на оси абсцисс откладывают вероятности, по оси ординат откладывают значения исследуемой величины и график показывает зависимость значений случайной величины от указанной вероятности.

Графики квантильных функций проходят через точкур=0,5 приХ=0, симметричны относительно этой точки из-за симметричности плотности распределения относительно оси ординат, что изображено на Рис 25а.

Для большей точности рассмотрим поведение квантильных функций в окрестности р=1, изобразив графики зависимостипри различных числах степеней свободы. С помощью таких кривых можно найти критическую точкуправосторонней области по заданному уровню значимости(см. Рис. 25б). Часть таких значений можно найти по таблице приложения 7, зафиксировавв нижней строке (односторонней области) и в первом столбце взяв число степеней свободы. Правило использования графика квантильной функции приведено выше в 5.2.4.

Квантильные функции для распределения Стьюдента

r=1

r=2

r=3

r=5

r=7

r=9

r=12

r=30

Рисунок 25а

r=1

r=3

r=5

r=7

r=9

r=15

r=20

r=30

=1–р

Х

при числе степеней свободы r

Чтобы получить критическую точку (квантиль) при известном числе степеней свободы rи вероятности=1–р(уровне значимости) необходимо

• Отложить на оси абсцисс;

• Найти соответствующую точку графика (восстановив перпендикуляр до пересечения с графиком);

• Спроецировать точку графика на ось ординат, получить – критическую точку правосторонней области.

• Критическая точка левосторонней областинаходится из четности т.е..

Аналогичные действия, но в обратном порядке, выполняются при нахождении вероятности принимать значения, меньшие выбранного .

На Рис.25 показано нахождение критических точек распределения при различных числах степеней свободы rи вероятностях (уровнях значимости). При увеличении уровня достоверности(уменьшении уровня значимости) и постоянном числе степеней свободы происходит увеличение(расширение двусторонней критической области). При неизменном уровне значимости и возрастании числа степеней свободы происходит уменьшение(сужение двусторонней критической области).