5.2.4 Распределение Хи-квадрат

Пусть – независимые нормированные нормальные случайные величины (,i=1,2, …. ,n). В этом случае сумма их квадратовимеет распределение Хи-квадрат, параметром которого служит число независимых величин –число степеней свободы.

Если величины связаны дополнительным условием (например, их сумма равна известному числу), то величины уже не будут независимыми, среди них независимыми будут толькоn–1 величина.

В общем случае число степеней свободы r равно числу слагаемых минус число наложенных на них условийk,r =n – k .

Число степеней свободы однозначно описывает распределение Хи-квадрат,

плотность распределения Хи-квадрат : ,

где – гамма-функция, приГ(n-1)=n! .

По Рис. 20 видно, что плотность распределения при малом числе степеней свободы асимметрична, левосторонняя. При увеличении числа степеней свободы асимметрия уменьшается, распределение медленно приближается к нормальному распределению. Послеr=30 и более распределение можно считать нормальным.

Значения плотности распределения и функции распределения Хи-квадрат вычисляются довольно сложно, для простоты вычислений составлены таблицы, в которых по числу степеней свободы rи уровню значимостиуказывается критическое значение (квантиль), для которого выполняется(– значения аргумента, при которых значение функции распределения равно уровню достоверности).

Например, при =0,05 (т.е.=0,95 или 95%) получим зависимость от числа степеней свободы :

r	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	3,8	6,0	7,8	9,5	11,1	12,6	14,1	15,5	16,9	18,3	19,7	21,0

Более полная таблица приведена в приложении 5, где взято шесть наиболее часто встречающихся значений (0,01 ; 0,025 ; 0,05 ; 0,95 , 0,975 ; 0,89), число степеней свободы взято до 30. При увеличении числа степеней свободы распределение Хи-квадрат медленно приближается к нормальному распределению.

х₁

Критические точки легче воспринимаются по графику квантильной функции, обратной для функции распределения. Квантильная кривая строится так: по оси абсцисс откладывают вероятности, по оси ординат откладывают значения исследуемой величины и график показывает зависимость значений случайной величины от указанной вероятности.

Квантильные функции распределения Хи-квадрат

при числе степеней свободы r=1, 3, 5, 7, 9, 15, 20, 30

Чтобы получить критическую точку (квантиль) при известном числе степеней свободы rи вероятностир(уровне значимости=1–р) необходимо

• Отложить на оси абсцисс;

• Найти соответствующую точку графика (восстановив перпендикуляр до пересечения с графиком);

• Спроецировать точку графика на ось ординат, получить критическую точку.

Аналогичные действия, но в обратном порядке, выполняются при нахождении вероятности принимать значения, меньшие выбранного .

На Рис.22 показано нахождение критических точек распределения при числе степеней свободыr=15 и вероятностях (уровнях значимости)и.

По рисунку 22 видно, что для случайной величины Х, имеющей распределение Хи-квадрат при r=15 выполнено:

а) Х принимает значения, меньше , с вероятностью

(принимает значения, больше , с вероятностьюили 90%); б) Х принимает значения, меньше, с вероятностью

(принимает значения, больше, с вероятностью);

в) Вероятность получить значение Х в пределах от 8 до 22 равна разности значений функции распределения в точках х=22 их=8т.е. составляет около 80%.

Аналогично можно оценить критические точки и значения функции распределения для различных уровней достоверности, не перечисленных в таблице приложения 5, но изображенные на Рис. 22.

Х