5.1.4 Геометрическое распределение

В каждом из независимых испытаний вероятность появления события А остаётся постоянной p.

Производится испытание и фиксируется появление или непоявление А. Если А не появилось, то испытания повторяются до тех пор, пока событие А не появится первый раз.

Если случайная величина Х – число проведённых испытаний, то формула описывает вероятность для Х принимать значениеk, . Такая случайная величина имеетгеометрическое распределение.

Пример 9:

Описать геометрическое распределение при p₁=0,3 p₂=0,5 p₃=0,8 .

Решение:В результате вычислений с помощью формулы получим следующие распределения :

		х
		1	2	3	4	5	6	7	8	9
р	0.3	0.3	0.21	0.147	0.1029	0.072	0.0504	0.0353	0.0247	0.0173
	0.5	0.5	0.25	0.125	0.0625	0.0313	0.0156	0.0078	0.0039	0.002
	0.8	0.8	0.16	0.032	0.0064	0.0013	0.0003	0.0001	0	0

Изобразим графически полученные распределения.

По Рис.14 видно, что при меньшем значениир кривая получается более пологая. При удалении отх=1 высота уменьшается и быстро стремится к нулю.

В случае геометрического распределения .

Замечание:Геометрическое распределение предполагается в случаях, когда полигон или гистограмма выборки дох=1 нулевые и послех=1 убывают.

Для случайной величины Х, имеющей геометрическое распределение, параметром служит р, её значение по выборочным данным может быть найдено следующим образом:

1) Производится серия nисследований, в каждом из которых производятся испытания до тех пор, пока событие А не появится. Число испытаний в каждом исследовании фиксируется. Получаем последовательность целочисленных значенийх₁,х₂, …..,х_n().

2) Для данной выборки находим .

3) Из оценки и условия, получаем ;

5.1.5 Гипергеометрическое распределение

Производится отбор kэлементов из общего количестваK, из которых М «окрашенных». Обозначим Х – количество «окрашенных» элементов среди отобранных .

В этом случае вероятность для Х принимать значениеm(ровноmизkэлементов являются окрашенными) находится по формуле

, где – число сочетаний изnпоk,

находится по правилу .

Формула задаёт гипергеометрическое распределениедля Х.

Пример 10:

1) Пусть всего деталей К=20, из их числа берётся к=7 деталей.

При числе окрашенных М₁=8, М₂=6, М₃=5, М₄=2 получим распределения

2) Пусть всего деталей К=40, из их числа берётся к=20.

При числе окрашенных М₁=30, М₂=27, М₃=24 и М₄=18 получим распределения

Для гипергеометрического распределения

, .

При величина, т.е.и гипергеометрическое распределение приближается к биномиальному распределению с вероятностью в каждом испытаниири числом испытанийm=k. Получаем, чтокзависимых опытов, состоящих в выниманиикшаров из урны, содержащей М окрашенных и К-М неокрашенных шаров, становятся практически независимыми. Вероятность выбрать окрашенный шар от опыта к опыту не меняется и остаётся равной.

Существует множество других, не перечисленных здесь, распределений дискретных величин.