5 Теоретические распределения

Пусть, в зависимости от формы статистического распределения выборки, по выборочным данным составлен полигон, гистограмма и (либо) график эмпирической плотности распределения. По их виду и соответствующим числовым характеристикам выборки выдвигаетсягипотеза Н₀ о виде распределения исследуемой случайной величины Х с альтернативной гипотезой Н₁о другом виде распределения. По виду предложенного распределения находятся егопараметры.

Перечислимосновные виды распределенийслучайных величин и укажем правила нахождения их параметров по статистическим данным.

5.1 Дискретные случайные величины

5.1.1 Биномиальное распределение

Пусть производится mнезависимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется либо нет. Вероятность появления А в каждом испытании остаётся постоянным числомр (независимо от результатов других испытаний).

Если обозначить случайную величину Х – число появлений А за m испытаний, то формулаБернулли описывает вероятность для Х принимать значениеk,.

В этом случае говорят, что случайная величина Х имеет биномиальное распределение (илибиномиальнораспределена).

Пример7:

Описать биномиальное распределение при m=9 испытаниях, в каждом из которых вероятность события равна p₁=0,3 ( p₂=0,5 , p₃=0,8) .

Решение:В результате вычислений с помощью формулы Бернулли получим следующие распределения :

		x
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
p	0.3	0.0404	0.1556	0.2668	0.2668	0.1715	0.0735	0.021	0.0039	0.0004	0
	0.5	0.002	0.0176	0.0703	0.1641	0.2461	0.2461	0.1641	0.0703	0.0176	0.002
	0.8	0	0	0.0003	0.0028	0.0165	0.0661	0.1762	0.302	0.302	0.1342

Например:

при р=0,3,

, и т.д.

Изобразим графически полученные распределения (см. Рис.12).

По рисунку видно, что при меньшем значении рабсцисса точки максимума сдвигается влево. При удалении от точки максимума высота уменьшается.

Замечание: Распределение Х близко к биномиальному, если для выборки её значений у полигона (гистограммы) одна или несколько соседнихвариант имеют наибольшую высоту и удаление от них даёт уменьшение высоты (вероятности);

Из теории вероятностей известно, что для биномиально распределённой случайной величины Х числовые характеристики ,.

Параметром биномиального распределения служит р, её значение статистически может быть найдено следующим образом:

1) Производится серия nисследований, в каждом из которых производитсяm испытаний (в каждом из которых А происходит либо нет). В каждом исследовании фиксируется число появлений события А.

Получаем последовательность целочисленных значений х₁,х₂, …..,х_n().

2) Для данной выборки находим ;

3) Из оценки М(Х)=и условия, получаем,

.

5.1.2 Альтернативный признак

Пусть в каждом испытании исходом является «1», если выполнился некоторый признак, либо «0», если признак не выполнился (других исходов нет). Такой признак называется альтернативным. Альтернативным признаком может быть «годная – негодная деталь», пол работника «мужской – женский» , событие произошло – не произошло и т.д.

В результате нескольких испытаний при альтернативном признаке Х получим выборку с двумя вариантами «0» и «1».

Обозначим

р– вероятность появления признака в каждом испытании,

q– вероятность непоявления признака в каждом испытании (),

–относительная частота (доля) элементов, обладающих данным

признаком,

m– число элементов, обладающих признаком средиnисследованных.

В таком случае

,

,

.

Максимальная дисперсия альтернативного признака при фиксированном nдостигается прир=0,5 и равна, в остальных случаях она меньшее чем.

Для выборки с исследованием альтернативного признака возможно только две варианты «1» (событие А появилось) с частотой появления m, либо «0» (событие А не появилось) с частотой появленияn–m.

В таком случае средняя для доли равна относительной частоте элементов с выполнением признака , она и является точечной оценкой вероятности появления признака в одном испытаниир. Дисперсия такого значения оценивает значение, стремится к нулю при увеличении объёма выборки.

По выборочным данным вероятность рпоявления события А (альтернативного признака) можно оценит его точечной оценкой–относительной частотой появления события А.

3. Распределение Пуассона

Пусть производится mнезависимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется либо нет, среднее число появлений события А является известной величиной.

Если обозначить случайную величину Х – число появлений события А, то формула Пуассона описывает вероятность для Х принимать значениеk,. В таком случае говорят, что случайная величина Х имеетраспределение Пуассона.

Из теории вероятностей известно, что биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона при если при этом величинаостаётся постоянной (– среднее число появлений).

Для вычисления вероятностей применяется таблица значений (приложение 7).

Пример 8:

Описать распределение Пуассона при ₁=1 ,₂=3 , ₃=5 .

Решение:В результате вычислений получим следующие распределения:

		х
		0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	1	0.3679	0.3679	0.1839	0.0613	0.0153	0.0031	0.0005	0.0001	0	0	0	0	0
	3	0.0498	0.1494	0.224	0.224	0.168	0.1008	0.0504	0.0216	0.0081	0.0027	0.0008	0.0002	0.0001
	5	0.0067	0.0337	0.0842	0.1404	0.1755	0.1755	0.1462	0.1044	0.0653	0.0363	0.0181	0.0082	0.0034

Из теории вероятностей известно, что для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона, числовые характеристики .

Замечание: Распределение Х близко к распределению Пуассона, если для полигона (гистограммы) её выборочных значений одна или несколькососеднихвариант имеют наибольшую высоту и удаление от них даёт уменьшение высоты (вероятности), а значениене сильно отличается от;

Для случайной величины Х, имеющей распределение Пуассона, параметром служит число , её значение по выборочным данным может быть найдено следующим образом:

1) Производится серия nисследований, в каждом из которых производитсяm испытаний (в каждом из которых А происходит либо нет) и фиксируется число появлений события А. Получаем последовательность целочисленных значений

х₁,х₂, …..,х_n();

2) Для данной выборки находим . Еслисильно отличается от, то распределение Пуассона вряд ли имеет место;

3) Из оценки и условия, получаем ;