Вероятность дз / ДополнВопросыТеорВер

Дополнительные вопросы на экзамене по теории вероятностей

и математической статистике

• Являются ли событиями «2+2=4», «Погода неплохая», «одежда неопределенного цвета»;

• Сформулировать события для событий

А– диаметр взятой детали меньше 20 мм,

В – длина детали от 50 до 52 мм;

• При изготовлении каждой из трёх деталей возможен брак. Ввести элементарные события и записать с их помощью события «Ровно две бракованы» и «Хотя бы одна бракована»;

• Привести по одной паре несовместных, совместных, независимых и зависимых событий;

• Являются ли зависимыми несовместные события? Всегда ли совместны независимые события?

• Что такое «Перестановка 6 элементов», «Размещение из 5 по 2», «Сочетание из 10 по 3» с приведением примера каждой и числа возможных комбинаций (перестановок, размещений и сочетаний);

• Вычислить ;

• Привести примеры событий с вероятностью 0,4; 2,1; Практически достоверного и Практически невозможного событий;

• Проверить правильность рассуждения «Сумма очков на двух игральных костях– это число от 2 до двенадцати (11 шт.) т.е. вероятность суммы меньше 4 (2 шт.) равна ». При неправильности вычислить вероятность правильно;

• В классическом и статистическом определении присутствуют одинаковые буквы, имеют ли они одинаковый смысл? Статистически описать вероятность выпадения чётного числа очков на игральной кости;

• Если А, Б, С не являются несовместными, то сколько и каких слагаемых необходимо для вычисления вероятности их суммы;

• Какие события образуют полную группу (называются гипотезами)? При броске одной игральной кости образуют ли полную группу события А и Б, где А– выпало кратное двум, Б – выпало кратное трём число очков?

• Найти вероятность брака для взятой наудачу детали из числа, где изделия трёх заводов находятся в отношении 4:7:9 и вероятность брака для них соответственно 5%, 10% и 7%;

• Для чего применяется формула Байеса? Записать её для предыдущего примера (для каждой гипотезы);

• Из 10 деталей 4 бракованы, из общего числа берётся три. Какова вероятность двух бракованных при

а) Возвращении каждой взятой обратно; б) Взятии без возвращения;

• В чем заключается геометрический метод вычисления вероятности, как он связан с равномерностью распределения?

• Два сигнала повторяются периодически через 20 секунд. Длительность первого 5 сек. и второго 8 сек. Если их начальные моменты независимы, то какова вероятность наложения сигналов?

• Чем отличаются дискретные случайные величины от непрерывных? Приведите пример каждого вида?

• Как составить закон распределения для дискретной случайной величины (ДСВ), что при этом нужно проверить?

• Правило вычисления математического ожидания М(Х) для ДСВ, его основные свойства;

• Определение дисперсии для ДСВ, её основные свойства. Что происходит с Х, если М(Х) остаётся прежней и увеличивается?

• Х	2	3	5
  р	0.2	0.3	?

  Найти для случайной величины математическое ожидание и стандартное (среднеквадратичное) отклонение, если Х задана своим законом распределения

• Приведите пример случайной величины с биномиальным распределением, как составляется закон распределения для нее?

• При броске трёх игральных костей каково математическое ожидание для суммы очков и каково его стандартное отклонение?

• Если в среднем за час событие происходит трижды, то какова вероятность за выбранный час наблюдать четыре таких события?

(Применить формулу Пуассона);

• Если из большой партии с 10% брака выбираются детали до появления бракованной, то каково ожидаемое значение и стандартное отклонение для числа взятых деталей?

(Учесть геометрическое распределение Х);

• Записать формулу для нахождения вероятности каждого значения случайной величины с гипергеометрическим законом распределения;

• Какая из функций, заданных графически, может быть функцией либо плотностью распределения случайной величины (какие дополнительные условия должны выполняться)?

• Как при равномерном распределении Х на отрезке на [-2; 8] вычислить ?

• Если время выполнения заказа имеет показательное распределение с ожидаемым значением 10 минут, то какова вероятность затратить на очередной заказ от 8 до 15 минут?

• Как изменится график плотности нормального распределения, если М(Х)=5 останется прежним и увеличится вдвое (построив оба графика)?

• Если Х имеет распределение с плотностью , то каковы значения ?

• Какова вероятность при 200 броске монеты получить число решек

а) ровно 110; б) От 90 до 120; в) Более 130?

• Найти минимальный промежуток, в котором с вероятностью не менее 90% окажется значение нормальной случайной величины с ожидаемым значением 50мм и стандартным отклонением 5 мм;

• Что означает «репрезентативность выборки»? Приведите пример нерепрезентативной выборки;

• Выборка задана своим распределением (вариационным рядом).

Х	1	2	3	5
	10	18	30	12

Найти объём выборки, выборочное среднее, выборочную дисперсию и с её исправлением значение .

Как построить полигон распределения?

• В результате замера диаметра изделий (мм) получены результаты

4,5,4,6,4,7,8,5,4,5,6,8,7,9,4,8,5,5,7,4. Составить интервальное

распределение с разбиением на четыре равных интервала, построить график выборочной плотности распределения;

• Может ли эффективная и состоятельная статистическая оценка быть смещенной? Привести пример смещенной и несмещенной точечных статистических оценок;

• С помощью критерия Пирсона проверить согласованность пар чисел

	4	5	7	4	3	2
	2	3	8	6	4	2

а) Считая значения независимыми;

б) Считая выравнивающими частотами из нормального распределения;

• По выборке объёма 100 получено среднее значение веса одной детали 200 г. со стандартным отклонением 10 г. Найти с достоверностью 95% доверительный интервал для веса одной такой детали;

• Привести пример пары случайных величин а) с функциональной зависимостью; б) практически независимых; в) коррелируемых;

• Что такое «линия регрессии», как найти параметры линейной регрессии по двумерной выборке?

• На рисунках изображены точками значения . Указать для каждого значение коэффициента корреляции .

• Как устроена корреляционная таблица? Как по ней найти

а) Безусловные распределения составляющих и их числовые

характеристики;

б) Условные распределения и эмпирическую линию регрессии;

в) Коэффициенты ковариации и регрессии;

г) Уравнение регрессии и спрогнозировать значение одной составляющей

по значению другой.

4