4 Структура и содержание учебной дисциплины

4.1 Календарный план

Недели	Тема	Часов			Отчётность
		Лекции	Практики	всего
1	Действия над событиями	1	2	3	ДКР №1
2	Элементы комбинаторики	1	2	3
3	Вероятность событий, вероятность суммы и произведения событий	1	2	3
4	Формулы полной вероятности, Байеса, Бернулли, геометрический метод	1	2	3
5	Закон распределения ДСВ	1	2	3	ДКР №2, АКР №1
6	Числовые характеристики ДСВ	1	2	3
7	Функция распределения и плотность распределения НСВ	1	2	3
8	Виды распределений и числовые характеристики НСВ	1	2	3
9	АКР «Нормальное распределение»		1	3
	Распределения Хи-квадрат и Стьюдента	1	1
10	Многомерные случайные величины	1	1	2
11	Группировка и графическое представление выборочных данных	1	2	3	ДКР №3
12	Числовые характеристики выборки	1	2	3
13	Проверка статистических гипотез	1	2	3
14	Параметры распределения по выборочным данным	1	2	3
15	Метод наименьших квадратов	1	2	3	АКР №2
16	Корреляционная таблица	2	2	4
17	АКР «Корреляция»		2	2
18	Ранговая корреляция	1	2	3
Итого:		18	36	54	3 ДКР, 2 АКР экзамен

ДКР №1 «Вероятность случайных событий»,

ДКР №2 «Случайные величины»,

АКР №1 «Нормальное распределение» (1 час),

ДКР №3 «Обработка статистических данных»,

АКР №2 «Корреляционная таблица» (2 часа).

4.2 Содержание лекционных занятий

Действия над событиями (Л – 1 ч., Пр.– 2 ч.)

1. Понятие испытания и случайного события. Основные виды испытаний и событий. Действия над событиями: равенство, сумма, произведение, противоположное событие (определения и диаграммы), их основные свойства.

Элементы комбинаторики (Л – 1 ч., Пр.– 2 ч.)

2. Элементы комбинаторики: определения и способы вычисления чисел перестановок, размещений, сочетаний и их основные свойства. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Вероятность событий (Л – 2 ч., Пр.– 4 ч.)

3. Частота и относительная частота события, статистическое определение вероятности события. Понятие исходов испытания, классическое определение вероятности события. Отличие статистического и классического определений вероятности. Аксиомы вероятности.

4. Вероятность суммы совместных и несовместных событий. Формула включения-исключения.

5. Определения зависимых и независимых событий. Понятие условной вероятности. Формула вероятности произведения событий. Примеры зависимых и независимых событий, вероятности их произведения.

6. Надёжность схемы с последовательно-параллельным соединением элементов.

7. Определение гипотез, выведение формулы полной вероятности и правило её применения. Выведение формулы Байеса и правило её применения.

8. Описание схемы Бернулли повторения испытаний. Выведение формулы Бернулли, правило её применения. Наивероятнейшее число появлений события.

9. Геометрическая вероятность, условия её применения. Формулировка и решение задачи о встрече.

Дискретные случайные величины (Л – 2 ч., Пр.– 4 ч.)

10. Определение случайной величины, отличие дискретных случайных величин (ДСВ) от непрерывных случайных величин (НСВ), их примеры. Закон распределения ДСВ, способы вычисления и основные свойства математического ожидания ДСВ.

11. Определение математического ожидания ДСВ, его основные свойства.

12. Определение дисперсии D(Х) и среднеквадратичного отклонения σ(Х), их основные свойства и правила вычисления для ДСВ.

13. Биномиальное распределение. Выведение М(х), D(x) и σ (x) для биномиального распределения.

14. Геометрическое и гипергеометрическое распределения.

15. Определение и основные свойства функции распределения F(x).

Непрерывные случайные величины

(Л – 2 ч., Пр.– 5 ч., АКР–1 ч.)

16. Определение и основные свойства плотности распределения f(x) для непрерывных случайных величин (НСВ).

17. Правила вычисления М(х), D(x) и σ(x) для НСВ и их основные свойства.

18. Равномерное распределение: параметры плотности распределения, F(x), М(х), D(x) и σ(x) для него, вероятность попадания в указанный промежуток.

19. Показательное распределение: параметры его плотности распределения f(x) и функции распределения F(x), М(х), D(x), σ(x). Функция надёжности. Вероятность попадания в указанный промежуток.

20. Распределения Пуассона: параметры плотности распределения, F(x), М(х), D(x) и σ(x) для него, вероятность попадания в указанный промежуток.

21. Нормальное распределение: нормированная и ненормированная плотность распределения, использование таблиц для вычисления их значений. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой.

22. Функция F(x) нормального распределения, функция Ф(х) и правило пользования её таблицей. Вероятность попадания в указанный промежуток, правило «трёх сигма». Нахождение вероятности отклонения. Центральная предельная теорема.

23. Локальная и интегральная теоремы Лапласа. Связь нормального, биномиального распределений и распределения Пуассона.

24. Распределение Хи-квадрат, его плотность распределения при различных степенях свободы и таблица критических точек.

25. Распределение Стьюдента, его плотность распределения при различных степенях свободы и таблица критических точек.

Многомерные случайные величины (Л – 1 ч., Пр.– 1 ч.)

26. Двумерные случайные величины, их закон распределения, условные распределения и условные математические ожидания (при дискретном задании Х и Y). Понятия коэффициентов ковариации и корреляции, их основные свойства.

27. Плотность распределения непрерывной двумерной и многомерной случайной величины, вычисление для неё и вероятности попадания в заданную область.

Обработка статистических данных (Л –4 ч., Пр.– 8 ч.)

28. Цели и задачи математической статистики. Выборочный метод: понятие выборки, её объёма, различные способы отбора её элементов из генеральной совокупности, репрезентативность выборки.

29. Графическое представление выборки: полигон, гистограмма, выборочные плотность и функция распределения, различные диаграммы.

30. Нахождение числовых характеристик выборки: среднего выборочного , выборочной дисперсии,S, моды и медианы (общие и сгруппированные).

31. Виды статистических оценок: несмещённые, эффективные и состоятельные оценки (на примере М(х) и D(x)). Понятие доверительных интервалов.

32. Выдвижение гипотезы о виде распределения. Нахождение параметров равномерного, показательного, Пуассонова и нормального распределений по выборочным данным.

33. Построение нормальной кривой по выборочным данным.

34. Виды статистических гипотез. Критерии согласия Пирсона, Романовского и Колмогорова.

35. Доверительные интервалы для .

36. Общий план обработки статистических данных.

Корреляция (Л – 4 ч., Пр.– 6 ч., АКР–2ч.)

37. Зависимость и независимость случайных величин, стохастическая и функциональная составляющие зависимости. Корреляционная зависимость. Правило составления корреляционной таблицы по выборочным данным.

38. Правила нахождения средних (центра корреляции), условных средних и правило построения эмпирической линии регрессии по корреляционной таблице.

39. Правила вычисления дисперсий, коэффициентов ковариации, корреляции и детерминации по корреляционной таблице. Анализ полученных коэффициентов. Построение графика линейной регрессии.

40. Общий план выявления линейной зависимости по корреляционной таблице.

41. Постановка задачи и применение метода наименьших квадратов, нахождение параметров кривой Y(x) ( общий случай ). Правило нахождения параметров линейной регрессии по выборочным данным с помощью метода наименьших квадратов, его связь с

результатами корреляционного анализа.

27. Ранговая корреляция, коэффициенты Кендалла и Спирмена,

их значимость.

Примеры задач

1) Сборщик нёс в одной коробке 8 годных деталей и 4 бракованных, но коробка упала и детали перемешались. Какова вероятность того, что среди взятых четырёх деталей из этой коробки окажется хотя бы одна бракованная?

2) Школьник взялся за решение трёх задач, вероятности правильного решения которых соответственно равны 40%,60% и 80%. Какова вероятность того, что не менее двух задач будет решено правильно?

3) Мистер Браун играет в компьютерную игру, где вероятность перейти на каждый следующий уровень постоянна и равна 70%. Определить вероятность того, что он дойдёт лишь до третьего уровня (не сможет перейти на четвёртый ) за одну игру.

4) Куплено 5 лотерейных билетов, Определить вероятность того, что только один из них счастливый, если всего билетов 50, из которых 8 счастливых.

5) Одинаковые внешне конфеты имеют три разные начинки с вероятностью испортиться после двух месяцев 45%, 35% и 15% соответственно. Коробка ассорти, где эти конфеты лежат в пропорции 12:8:10 выпущена девять недель назад. Определить вероятность того, что взятая наудачу конфета имеет испорченную начинку.

6) Три коробки по 30 конфет в каждой имеют среди них конфеты с шоколадной начинкой в количестве 5,10 и 6 штук соответственно. Из случайно выбранной коробки берётся первая попавшаяся конфета, и начинка её оказалась не шоколадной. Насколько вероятно, что она взята из той коробки, где было больше всего шоколадных начинок?

7) Светофор на перекрестке 90 секунд показывает зеленый свет, после чего 10 секунд показывает желтый свет и затем 90секунд красный, после чего вся последовательность повторяется. Определить вероятность автомобилю, подъехавшему в случайный момент времени, проехать перекресток без задержки.

8) Монета бросается 4 раза. Записать закон распределения случайной величины Х- числа выпавших решек, найти М(Х), D(X) и .

9) Плотность распределения случайной величины имеет вид .

Найти а, F(x), М(Х), D(X) и ,P(X[3;5]).

10) Производится 100 выстрелов с вероятностью попадания в каждом 80%. Определить вероятность числа попаданий а) от 73 до 86 включительно; б) более 60 ; в) менее 84.

11) В результате измерений одного размера для деталей одной партии получена выборка: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 3, 2, 2, 3, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 5, 3. По выборочным данным составить статистический ряд распределения, гистограмму частот при разбиении на 6 равных промежутков, найти и построить нормальную кривую.

12) В результате измерений двух параметров X и Y получены следующие пары чисел: (1;2), (2;3), (3;3), (4;1), (2;2), (4;3), (3;3), (3;4), (4;3), (5;2), (5;3), (4;4), (3;5). Составить корреляционную таблицу, найти уравнение регрессии Y на Х и оценить тесноту линейной связи;

13) По корреляционной таблице построить эмпирические линии регрессии Х на У и У на Х, вычислить коэффициент корреляции и построить теоретические линии регрессии (линейные)

Х		Y
		4 – 6	6 – 8	8 – 10	10 – 12	12 – 14
0 – 4		1	3	10	8	2
4 – 8		1	5	8	10	5
8 – 12		2	1	20	8	1
12 – 16		–	2	7	5	1

В течение семестра проводятся контрольные мероприятия:

ДКР "Вероятность событий";

ДКР "Случайные величины" ;

АКР "Нормальное распределение";

ДКР "Обработка статистических данных";

АКР "Корреляция".