Вопросы к экзамену по теории вероятностей и математической статистике

1. Понятие испытания и случайного события. Основные виды испытаний и событий. Действия над событиями: равенство, сумма, произведение, противоположное событие (определения и диаграммы) и их основные свойства.

2. Частота и относительная частота события, статистическое определение вероятности события. Свойства вероятности. Понятие исходов испытания, классическое определение вероятности события. Отличие статистического и классического определений вероятности.

3. Элементы комбинаторики: сформулировать определения и вывести способы вычисления чисел перестановок, размещений, сочетаний и их основные свойства.

4. Вывести формулу вероятности суммы совместных и несовместных событий, формулу включения-исключения.

5. Сформулировать определения зависимых и независимых событий, условной вероятности. Вывести формулу вероятности произведения событий. Примеры зависимых и независимых событий, вероятности их произведения.

6. Сформулировать определение гипотез, вывести формулу полной вероятности и правило её применения.

7. Вывести формулу Байеса и правило её применения.

8. Описать схему Бернулли повторения испытаний. Вывести формулу Бернулли и правило её применения. Наивероятнейшее число появлений события.

9. Геометрическая вероятность, условия её применения. Формулировка и решение задачи о встрече.

10. Определение случайной величины, отличие дискретных случайных величин (ДСВ) от непрерывных случайных величин (НСВ), их примеры. Закон распределения ДСВ, способы вычисления и основные свойства математического ожидания ДСВ.

11. Определение, вычисления для ДСВ и основные свойства дисперсии D(x) и (x).

12. Вывести М(х), D(x) и (x) для биномиального распределения.

13. Определение и основные свойства функции распределения F(x).

14. Определение и основные свойства плотности распределения f(x) для НСВ.

15. Сформулировать правила вычисления М(х), D(x) и (x) для НСВ и их основные свойства.

16. Вывести параметры плотности распределения, функцию распределения для равномерного распределения, найти М(х), D(x) и (x) для него. Вероятность попадания в указанный промежуток.

17. Вывести параметры плотности распределения, функцию распределения для показательного распределения, найти М(х), D(x) и (x) для него. Функция надёжности. Вероятность попадания в указанный промежуток.

18. Записать плотность распределения нормированного и ненормированного нормального распределения, использование таблиц для вычисления их значений. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой.

19. Вероятность попадания Х с нормальным распределением в указанный промежуток, правило «трёх сигма». Нахождение вероятности отклонения.

20. Центральная предельная теорема. Закон больших чисел.

21. Сформулировать локальную и интегральную теоремы Лапласа, вывести свойства функций ₀x,x), использование их таблиц. Нахождение вероятности отклонения.

22. Двумерные случайные величины, их закон распределения, условные распределения и условные математические ожидания при ДСВ. Понятия коэффициентов ковариации и корреляции, их основные свойства.

23. Цели и задачи математической статистики. Выборочный метод: понятие выборки, её объёма, способы отбора её элементов, репрезентативность.

24. Графическое представление выборки (в зависимости от способа представления): полигон, гистограмма, выборочные плотность и функция распределения, диаграммы и картограммы.

25. Нахождение числовых характеристик выборки: среднего выборочного, выборочной дисперсии, _в, моды и медианы (общие и сгруппированные).

26. Виды статистических оценок: несмещённые, эффективные и состоятельные оценки ( на примере М(х) и D(x) ).

27. Применение критерия согласия Пирсона для проверки статистической гипотезы. Нахождение параметров равномерного, показательного, Пуассонова и нормального распределений по выборочным данным.

28. Общий план обработки статистических данных.

29. Зависимость и независимость случайных величин, стохастическая и функциональная составляющие зависимости. Корреляционная зависимость.

30. Постановка задачи и применение метода наименьших квадратов, нахождение параметров кривой Y(x) ( общий случай ).

31. Вывести правило нахождения параметров линейной регрессии по выборочным данным с помощью метода наименьших квадратов, его связь с результатами корреляционного анализа.

32. Вывести правило нахождения параметров параболической регрессии по выборочным данным с помощью метода наименьших квадратов.

33. Правило составления корреляционной таблицы по выборочным данным.Правила нахождения средних (центра корреляции), условных средних и построения эмпирической линии регрессии по корреляционной таблице.

34. Правила вычисления дисперсий, коэффициентов ковариации, корреляции и детерминации по корреляционной таблице. Анализ полученных коэффициентов. Построение графика линейной регрессии

Примеры задач:

1) Сборщик нёс в одной коробке 8 годных деталей и 4 бракованных, но коробка упала и детали перемешались. Какова вероятность того, что среди взятых четырёх деталей из этой коробки окажется хотя бы одна бракованная?

2) Школьник взялся за решение трёх задач, вероятности правильного решения которых соответственно равны 40%,60% и 80%. Какова вероятность того, что не менее двух задач будет решено правильно?

3) Мистер Браун играет в компьютерную игру, где вероятность перейти на каждый следующий уровень постоянна и равна 70%. Определить вероятность того, что он дойдёт лишь до третьего уровня (не сможет перейти на четвёртый ) за одну игру.

4) Куплено 5 лотерейных билетов, Определить вероятность того, что только один из них счастливый, если всего билетов 50, из которых 8 счастливых.

5) Одинаковые внешне конфеты имеют три разные начинки с вероятностью испортиться после двух месяцев 45%, 35% и 15% соответственно. Коробка ассорти, где эти конфеты лежат в пропорции 12:8:10 выпущена девять недель назад. Определить вероятность того, что взятая наудачу конфета имеет испорченную начинку.

6) Три коробки по 30 конфет в каждой имеют среди них конфеты с шоколадной начинкой в количестве 5,10 и 6 штук соответственно. Из случайно выбранной коробки берётся первая попавшаяся конфета, и начинка её оказалась не шоколадной. Насколько вероятно, что она взята из той коробки, где было больше всего шоколадных начинок?

7) Светофор на перекрестке 90 секунд показывает зеленый свет, после чего 10 секунд показывает желтый свет и затем 90секунд красный, после чего вся последовательность повторяется. Определить вероятность автомобилю, подъехавшему в случайный момент времени, проехать перекресток без задержки.

8) Монета бросается 4 раза. Записать закон распределения случайной величины Х- числа выпавших решек, найти М(Х), D(X) и .

9) Плотность распределения случайной величины имеет вид .

Найти а, F(x), М(Х), D(X) и , P(X[3;5]).

10) Производится 100 выстрелов с вероятностью попадания в каждом 80%. Определить вероятность числи попаданий а) от 73 до 86 включительно; б) более 60 ; в) менее 84.

11) В результате измерений одного размера для деталей одной партии получена выборка: 1, 2, 1, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 4, 5, 3, 2, 2, 3, 5, 6, 2, 2, 3, 3, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 5, 3. По выборочным данным составить статистический ряд распределения, гистограмму частот при разбиении на 6 равных промежутков, найти и построить нормальную кривую.

Рекомендуемая литература

1) Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. –

М.: Высшая школа, 1998 – 479с.

2) Гмурман в.Е. Теория вероятностей и математическая статистика:

Учебное пособие для экономических специальностей ВУЗов. –

М.: Высшая школа, 1986.

3) Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С.

Краткий курс высшей математики. Т. 2. – М.: Высшая школа, 1978.

4) Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я.

Высшая математика в примерах и задачах. Ч.2. – М.: Высшая школа,1986 –416с.

5) Шипачев В.С. Высшая математика: Учебное пособие для ВУЗов. –

М.: Высшая школа, 1996 – 479с.

6) Орлов Ю.В. Обработка статистических данных.

Учебно-методическое пособие-НГТИ 2002-40 с

Дополнительные вопросы на экзамене по теории вероятностей и математической статистике

• Являются ли событиями «2+2=4», «Погода неплохая», «одежда неопределенного цвета»;

• Сформулировать события для событий

А– диаметр взятой детали меньше 20 мм,

В – длина детали от 50 до 52 мм;

• При изготовлении каждой из трёх деталей возможен брак. Ввести элементарные события и записать с их помощью события «Ровно две бракованы» и «Хотя бы одна бракована»;

• Привести по одной паре несовместных, совместных, независимых и зависимых событий;

• Являются ли зависимыми несовместные события? Всегда ли совместны независимые события?

• Что такое «Перестановка 6 элементов», «Размещение из 5 по 2», «Сочетание из 10 по 3» с приведением примера каждой и числа возможных комбинаций (перестановок, размещений и сочетаний);

• Вычислить ;

• Привести примеры событий с вероятностью 0,4; 2,1; Практически достоверного и Практически невозможного событий;

• Проверить правильность рассуждения «Сумма очков на двух игральных костях– это число от 2 до двенадцати (11 шт.) т.е. вероятность суммы меньше 4 (2 шт.) равна ». При неправильности вычислить вероятность правильно;

• В классическом и статистическом определении присутствуют одинаковые буквы, имеют ли они одинаковый смысл? Статистически описать вероятность выпадения чётного числа очков на игральной кости;

• Если А, Б, С не являются несовместными, то сколько и каких слагаемых необходимо для вычисления вероятности их суммы;

• Какие события образуют полную группу (называются гипотезами)? При броске одной игральной кости образуют ли полную группу события А и Б, где А– выпало кратное двум, Б – выпало кратное трём число очков?

• Найти вероятность брака для взятой наудачу детали из числа, где изделия трёх заводов находятся в отношении 4:7:9 и вероятность брака для них соответственно 5%, 10% и 7%;

• Для чего применяется формула Байеса? Записать её для предыдущего примера (для каждой гипотезы);

• Из 10 деталей 4 бракованы, из общего числа берётся три. Какова вероятность двух бракованных при

а) Возвращении каждой взятой обратно; б) Взятии без возвращения;

• В чем заключается геометрический метод вычисления вероятности, как он связан с равномерностью распределения?

• Два сигнала повторяются периодически через 20 секунд. Длительность первого 5 сек. и второго 8 сек. Если их начальные моменты независимы, то какова вероятность наложения сигналов?

• Чем отличаются дискретные случайные величины от непрерывных? Приведите пример каждого вида?

• Как составить закон распределения для дискретной случайной величины (ДСВ), что при этом нужно проверить?

• Правило вычисления математического ожидания М(Х) для ДСВ, его основные свойства;

• Определение дисперсии для ДСВ, её основные свойства. Что происходит с Х, если М(Х) остаётся прежней и увеличивается?

• Х	2	3	5
  р	0.2	0.3	?

  Найти для случайной величины математическое ожидание и стандартное (среднеквадратичное) отклонение, если Х задана своим законом распределения

• Приведите пример случайной величины с биномиальным распределением, как составляется закон распределения для нее?

• При броске трёх игральных костей каково математическое ожидание для суммы очков и каково его стандартное отклонение?

• Если в среднем за час событие происходит трижды, то какова вероятность за выбранный час наблюдать четыре таких события?

(Применить формулу Пуассона);

• Если из большой партии с 10% брака выбираются детали до появления бракованной, то каково ожидаемое значение и стандартное отклонение для числа взятых деталей?

(Учесть геометрическое распределение Х);

• Записать формулу для нахождения вероятности каждого значения случайной величины с гипергеометрическим законом распределения;

• Какая из функций, заданных графически, может быть функцией либо плотностью распределения случайной величины (какие дополнительные условия должны выполняться)?

• Как при равномерном распределении Х на отрезке на [-2; 8] вычислить ?

• Если время выполнения заказа имеет показательное распределение с ожидаемым значением 10 минут, то какова вероятность затратить на очередной заказ от 8 до 15 минут?

• Как изменится график плотности нормального распределения, если М(Х)=5 останется прежним и увеличится вдвое (построив оба графика)?

• Если Х имеет распределение с плотностью , то каковы значения ?

• Какова вероятность при 200 броске монеты получить число решек

а) ровно 110; б) От 90 до 120; в) Более 130?

• Найти минимальный промежуток, в котором с вероятностью не менее 90% окажется значение нормальной случайной величины с ожидаемым значением 50мм и стандартным отклонением 5 мм;

• Что означает «репрезентативность выборки»? Приведите пример нерепрезентативной выборки;

• Выборка задана своим распределением (вариационным рядом).

Х	1	2	3	5
	10	18	30	12

Найти объём выборки, выборочное среднее, выборочную дисперсию и с её исправлением значение .

Как построить полигон распределения?

• В результате замера диаметра изделий (мм) получены результаты