НТИ НИЯУ МИФИ

Кафедра высшей математики

Теория вероятностей

Контрольное задание по темам: Классическая вероятность, Вероятность суммы и произведения событий, Полная вероятность, Формула Байеса, Формула Бернулли, Геометрическая вероятность.

Вариант №1

1.1.1 Три подруги, живущие в одной комнате общежития, моют посуду в соотношении 60% первая , 30% и 10% случаев соответственно вторая и третья. Первая из них разбивает тарелку в 1% случаев, а вторая и третья в двух и четырёх процентах случаев соответственно. Как-то вечером сквозь шум воды соседи услышали звон разбитой тарелки. Какова вероятность того, что её мыла третья из подруг?

1.1.2 Студент может ответить на 25 вопросов из 35 возможных. Преподаватель задаёт три вопроса со случайными номерами. Насколько вероятно студенту ответить хотя бы на один из этих вопросов?

1.1.3 На каждой из семи карточек написаны по одной буквы И,А,А,Ф,Н,Л,О. Определить вероятность того, что карточки, по одной выложенные ребёнком, дадут слово «ФИНАЛ».

1.1.4 В коробке лежат шары с цифрами от 1 до 9 (по одной). После записи номера наудачу взятого шара, его возвращают обратно. Определить вероятность получения только двух четных чисел после пяти попыток.

Вариант №2

1.2.1 Вероятность перегрузки в электросети каждый день составляет 25%. Определить вероятность того, что за 7 дней будет не более двух с перегрузками.

1.2.2 В магазине имеются одинаковые велосипеды общей стоимостью 2000 у.е. , но среди них 8 не полностью укомплектованы. Определить вероятность того, что из семи купленных велосипедов будет два не укомплектованных, при условии, что каждый стоит 80 у.е. .

1.2.3 Брошено 3 игральных кости и считается сумма очков на них. Какая из сумм более вероятна: 5 или 16?

1.2.4 Из тридцати экзаменационных билетов 6 лёгких. Какова вероятность того, что студент, выбирая наудачу три билета без возвращения их обратно, возьмёт среди них хотя бы один лёгкий билет?

Вариант №3

1.3.1 В производимых деталях может быть лишь два вида дефектов ( А и В). Из деталей, имеющих дефект А, только 20% имеет дефект В. Среди остальных деталей дефект В имеют лишь 2%. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь имеет дефект В, при условии, что дефект А имеют только 8% всех деталей.

1.3.2 Внешне одинаковые пирожки имеют три разные начинки, количества таких пирожков находятся в пропорции 20:15:25. Среди них пересолено соответственно 10%,20% и 5% пирожков каждого вида соответственно. Какова вероятность того, что взятый наудачу пирожок окажется пересоленным?

1.3.3 Школьник запоминает каждое третье иностранное слово (в среднем). Определить вероятность того, что из семи наудачу взятых слов домашнего задания бедный школьник 3 слова всё же запомнит?

1.3.4 Каждый из двух рабочих в течение часа выключает свой станок и отдыхает − первый 10 минут, а второй 12 минут. Найти вероятность того, что их перекуры совпадут, если известно, что каждый из рабочих выбирает время перекура случайно и независимо от другого.

Вариант №4

1.4.1 На первом курсе учатся студенты трёх групп по 25 человек в каждой. В первой группе 15 юношей, во второй их 10, а в третьей группе 12 юношей. Работница отдела кадров взяла личное дело одного из этих студентов из одной стопки наудачу, это оказалось дело юноши. Какова вероятность того, что он учится во второй группе?

1.4.2 Многодетная семья имеет пять детей. Определить вероятность среди них ровно двух мальчиков, считая вероятность рождения мальчика не зависящей от предыдущих рождений и равной 51 %.

1.4.3 Какая из сумм очков на двух игральных костях более вероятна: кратная восьми или больше восьми, на сколько?

1.4.4 Определить надёжность схемы, где в каждом элементе указана его надёжность (вероятность работы при включении (в процентах)).

Вариант №5

1.5.1 Из стандартной колоды 36 карт выбирается случайная карта, из оставшихся - вторая и затем третья. Какова вероятность того, что все эти карты одной масти или все тузы?

1.5.2 Вероятность попадания каждого из четырёх стрелков соответственно равна 60%,75%,80% и 70% . С какой вероятностью при одновременном залпе всех этих любителей охоты по одной утке в её тушке будет ровно два попадания?

1.5.3 Болезни двух видов Х и У подчинены закономерности: болеющие У при этом болеют Х с вероятностью 30%, а не болеющие У всё же болеют Х с вероятностью лишь 5%. Если известно, что в данный момент болезнь У лишь у 20% людей города, определить вероятность того, что выбранный случайно житель города заболел болезнью Х.

1.5.4 В коробке с ёлочными игрушками упаковано 30 штук, из которых 5 имеют дефекты. Насколько вероятно, что из восьми взятых случайно из этой коробки игрушек дефекты имеют только три?

Вариант №6

1.6.1 Три токаря производят одинаковые детали с вероятностью брака каждый раз 5, 3 и 2% соответственно. Найти вероятность того, что взятая из общей кучи деталь окажется без брака, если производительности токарей соответственно 40:30:25.

1.6.2 Вероятность рождения мальчика 51%. Насколько вероятно, что среди шести родившихся в данный день младенцев будет ровно 4 мальчика?

1.6.3 Найти вероятность того, что Вы, заполнив один билет спортлото `5 из 36`, угадаете при этом 4 из пяти выпавших номеров?

1.6.4 Заводом послан автомобиль для посещения четырёх баз. Вероятности наличия нужных материалов на каждой из этих баз равны 90% для первой, 95% и 80% для второй и третьей и для четвёртой - лишь 60%. Найти вероятность того, что только на одной из этих баз не окажется нужного материала?

Вариант №7

1.7.1 Вероятность того, что проехавшая машина окажется белого цвета, составляет 25%. Определить вероятность того, что из проехавших шести машин только две окажутся белыми,

1.7.2 Куплено 5 лотерейных билетов, Определить вероятность того, что только один из них счастливый, если всего билетов 50, из которых 5 счастливых.

1.7.3 Из трёх коробок, в каждой из которых лежит по 30 шаров, среди которых чёрных соответственно 5,10 и 15 штук, наудачу извлекается по одному шару. Из этих трёх шаров выбирается случайный шар, определить вероятность чёрного шара.

1.7.4 На развилке дороги стоит камень с надписью «По левой дороге погибает каждый пятый, по дороге прямо - каждый третий, а по правой дороге – половина проезжающих». Витязь, дав волю коню, поехал куда тот пойдёт, и без проблем проехал всю дорогу. Какова вероятность того, что он поехал прямо?

Вариант №8

1.8.1 Господин Смит каждый вечер возвращается домой поздно и вероятность быть ограбленным всегда составляет 25%. Какова вероятность ему в течение пяти дней быть ограбленным трижды?

1.8.2 Три коробки по 30 конфет в каждой имеют среди них конфеты с шоколадной начинкой в количестве 5,10 и 6 штук соответственно. Из случайно выбранной коробки берётся первая попавшаяся конфета, и начинка её оказалась не шоколадной. Насколько вероятно, что она взята из той коробки, где было больше всего шоколадных начинок?

1.8.3 Имеется 30 лотерейных билетов, среди которых 6 выигрышных. Господин Смит берёт сразу 4 билета и надеется, что хотя бы два из них окажутся выигрышными. Подскажите мистеру Смиту вероятность такого события.

1.8.4 Определить надёжность схемы, где в каждом элементе указана его надёжность (вероятность работы при включении (в процентах)).

Вариант №9

1.9.1 Вероятность какой суммы на трёх игральных костях больше: 5 или 16?

1.9.2 Производится шесть выстрелов из самонаводящегося орудия с постоянной вероятностью попадания 75%. Какова вероятность только четырёх попаданий?

1.9.3 В спецбольницу поступают больные только тремя видами болезней А,В,С с вероятностью выздоровления соответственно 60%,40% и 30%. Господин Браун видел, как в эту больницу привезли его знакомого, но через некоторое время он встретил его на улице полностью здоровым. Какова вероятность того, что тот страдал заболеванием В, если известно, что число заболевших болезнями А, В, С подчиняется пропорции 6:3:2 ?

1.9.4 В барабане пистолета мистера Смита заряжено семь патронов, три из которых выстрелят с вероятностью 100%, два-с вероятностью 80% и оставшиеся лишь в 20% случаев. Крутанув барабан, мистер Смит готов сделать выстрел себе в висок. Объясните ему, какова вероятность погибнуть.

Вариант №10

1.10.1 Для изготовления детали требуется три операции с вероятностью брака в каждой соответственно 10%,5% и 3%. Найти вероятность того, что не более одной операции даст брак.

1.10.2 Имеется три группы карточек по 4 в каждой: «С,А,А,Д» «А,С,Д,К» «С,О,К,И». Какова вероятность того, что не умеющий читать мальчик, взяв наудачу одну из этих стопок и, вытаскивая по одной случайно три карточки, получит С, за ней А и потом Д?

1.10.3 В цветочном ларьке имеется три вида гвоздик: двухдневные, четырёхдневные и шестидневные, внешне похожие и стоят в одном ведре перемешанные друг с другом в пропорции 3:4:2 соответственно. Бедный студент накопил денег на одну гвоздичку и взял первую попавшуюся из общей массы. Определить вероятность того, что эта гвоздика простоит целую неделю, если известно, что вероятность этого для двухдневной-70%, для четырёхдневной-45% и для шестидневной 15%.

1.10.4 Мистер Блэк и мистер Уайт играют в такую игру: подбрасывают монету и, если выпадет герб, то щелбан получает мистер Блэк, а если не выпадет, то мистер Уайт. Определить вероятность того, что после шести раз лоб мистера Уайта пострадает менее трёх раз.

Вариант №11

1.11.1 Из коробки, где лежат шары с цифрами от 1 до 10, игроки по очереди вынимают по одному шару, номер фиксируется и шар возвращается обратно. Если номер меньше четырёх, то команда получает балл. На сколько отличается вероятность набрать в шести попытках два либо пять баллов?

1.11.2 Мальчик играет в компьютерную игру, где вероятность перехода на каждый следующий уровень составляет 30%. Определить вероятность того, что он остановится на четвёртом уровне.

1.11.3 Три игрока, не сговариваясь, написали на своих карточках по одному числу от 1 до 10. Какова вероятность того, что хотя бы два числа совпадут?

1.11.4 На плоскости нанесены параллельные прямые попеременно через 3 и 12 сантиметров. Какова вероятность того, что монета диаметром 3.5 см., упавшая на пол, не пересечёт ни одной прямой?

Вариант №12

1.12.1 Монета бросается семь раз. Отличается ли вероятность трёх решек среди них и пяти решек, и на сколько?

1.12.2 Прямой отрезок проволоки длиной два метра разделён на три части двумя наудачу поставленными точками. Какова вероятность того, что из этих трёх отрезков можно составить треугольник?

1.12.3 Имеется две коробки, в первой 20 шаров и во второй 30 шаров. Среди них в первой 12 белых и во второй 17 белых шаров. Из каждой коробки наудачу вынимается по одному шару, из которых не глядя берётся один, Определить вероятность белого шара.

1.12.4 Определить надёжность схемы, где в каждом элементе указана его надёжность (вероятность работы при включении (в процентах)).

Вариант №13

1.13.1 Из коробки, где лежит 12 шаров, из которых 5 чёрных, по одному вынимается наудачу шары, фиксируется цвет и кладется обратно. Какое количество нечёрных шаров при пяти попытках более вероятно: два или три и насколько?

1.13.2 Мистер Браун играет в компьютерную игру, где вероятность перейти на каждый следующий уровень постоянна и равна 70%. Определить вероятность того, что он дойдёт лишь до третьего уровня (не сможет перейти на четвёртый ) за одну игру.

1.13.3 Перед младенцем лежит три стопки карточек, на которых написаны буквы: в первой А, А, Б, В; во второй П, П, А, Р, А, Г, А; в третьей Е, Н, Г, К. Определить вероятность того, что он, взяв одну карточку наудачу из какой-то стопки, покажет маме букву А.

1.13.4 Из города А в город Б можно проехать разными дорогами (смотри чертёж), на которых стоят пропускные пункты, каждый из которых в этот день может быть закрыт с указанной вероятностью. Определить вероятность того, что в этот день из А в Б проехать можно хотя бы по одной дороге.

Вариант №14

1.14.1 Гроссмейстер играет серию партий в шахматы, в которой не учитываются ничьи. Какова вероятность пяти результативных партий без единого проигрыша гроссмейстера, при условии, что вероятность его выигрыша в каждой партии составляет 80%?

1.14.2 Имеется одиннадцать карточки с числами от 10 до 20, из которых наудачу выбирается три. Определить вероятность того, что сумма этих чисел равна 36.

1.14.3 Следователь знает фамилию преступника и предприятие, на котором тот трудится. Отдел кадров этого предприятия дал справку, что у них трудится ещё восемь человек с такой фамилией. Следователь задержал троих из числа этих однофамильцев. Определить вероятность того, что среди них окажется тот, кого разыскивают.

1.14.4 В круг с радиусом 1 м. вписан правильный треугольник. Точка попала наудачу в круг, с какой вероятностью она при этом окажется в треугольнике?

Вариант №15

1.15.1 В квадрат вписан круг радиусом 1 м. Определить вероятность того, что муха, сев в случайную точку квадрата, окажется при этом вне круга.

1.15.2 Бросается две игральных кости и считается сумма очков. Определить сумму с наибольшей вероятностью и вычислить эту вероятность.

1.15.3 Пенсионер регулярно ходит в администрацию города с различными просьбами, вероятность отказа остаётся постоянной и равной 75%. Насколько вероятно, что после шести походов за правдой он дважды добьётся своего?

1.15.4 Мальчик собирал в лесу ягоды и собрал их 200 штук. Он не совсем точно знает несъедобные ягоды и среди собранных оказалось 3 условно-съедобных и одна ядовитая ягода. При обратной дороге он съел первую попавшуюся из своих ягод. Определить вероятность того, что он останется жив при условии, что смерть при условно-съедобной наступает в 30%, а при ядовитой ягоде в 80% случаев.

Вариант №16

1.16.1 Мост будет разрушен после попадания двух авиабомб. Самолет сбросил пять таких бомб с вероятность попадания 60% для каждой. Какова вероятность того, что мост всё же будет разрушен?

1.16.2 Три охотника после привала сделали каждый по одному выстрелу одновременно по одинокой куропатке, причём вероятность их попадания после «отдыха» соответственно равна 40,30 и 10 процентов. Куропатка всё же была подстрелена, но только одним попаданием. Какова вероятность того, что попал самый «уставший» стрелок?

1.16.3 Дедка с бабкой, после длительного спора, кому закрывать дверь, решают вопрос жребием. Они по очереди бросают монету, но не более двух раз каждый и закрывает дверь тот, у кого первой выпадет решка. Если решка после четырёх бросков монеты не выпадет, то дверь останется открытой. Определить вероятность того, что дверь кто-нибудь закроет?

1.16.4 На складе вперемешку лежат детали, изготовленные на трёх заводах в отношении 4:7:12 ( внешне не отличимые ). Взятая наудачу деталь оказалась бракованной. Определить вероятность того, что она изготовлена на первом заводе, при условии, что процент брака этих деталей для заводов 3%:5%:2% соответственно.

Вариант №17

1.17.1 Три стрелка с вероятностью попадания для каждого соответственно 70%,80% и 75% производят залп по одному выстрелу. Какова вероятность того, что попадут только двое?

1.17.2 Стержень длиной 2 метра делится на три части двумя наудачу поставленными точками. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть менее 50 сантиметров.

1.17.3 Имеется две коробки по 20 шаров в каждой, в первой 10 белых а во второй 15 белых шаров. Из обеих коробок наудачу берётся по одному шару и из полученной пары шаров

берётся один случайный. Определить вероятность того, что он белый.

1.17.4 Определить надёжность схемы, где в каждом элементе указана его надёжность (вероятность работы при включении (в процентах)).