Лекции по ТПР / Пример решения МКЗ (PROMETHEE I, II)

Сокращения

Для краткости и компактности изложения материала, договоримся о следующих аббревиатурах (сокращениях):

МКЗ – многокритериальная задача ЛПР – лицо, принимающее решение ФП – функция предпочтения

Выделение множества, оптимального по Парето

Рассмотрим решение МКЗ методами PROMETHEE I и PROMETHEE II, используя в качестве входных данных матрицу единичных критериев (табл. 1). Вариантами (объектами) в этой задаче являются работодатели. Считаем, что ЛПР оценивает этих работодателей только по 3 параметрам (критериям), которые его интересуют, а остальные параметры во внимание не берёт.

Таблица 1. Матрица единичных критериев

Сначала следует выделить множество, оптимальное по Парето, то есть исключить те объекты, которые по объективным причинам не могут выбраны в качестве лучших. В данном примере это работодатель В6. В самом деле, работодатель В1 предлагает зарплату и перспективу выше при такой же удалённости. Поэтому нет объективных причин из множества всех работодателей выбирать В6.

Оставшиеся 5 объектов образуют множество, оптимальное по Парето. В ходе дальнейшего решения будем рассматривать только это множество, а объект В6 вычеркнем из таблицы.

Таблица 2. Паретооптимальное множество объектов

Обработка значений объектов по критерию «Зарплата»

Для решения задачи методов PROMETHEE (I, II) от ЛПР требуется задать не только коэффициенты важности (веса) критериев, но и функцию предпочтения (ФП) для каждого критерия. ФП показывает, насколько значима для ЛПР разница значений двух объектов по выбранному критерию. Например, ФП, график которой изображён на рис. 1, говорит о том, что разница в зарплате 5 тысяч рублей и менее не существенна, а вот разница в 10 тысяч рублей – существенна. Несущественность означает, что ФП равна 0, а существенность означает, что ФП равна 1. Отметим, что в области от 5 тысяч рублей до 10 тысяч рублей ФП принимает значения от 0 до 1. Это так называемая область слабого предпочтения.

Далее строим матрицу (см. табл. 3), в которую заносим значения ФП.

Таблица 3. Значения функции предпочтения для критерия "Зарплата"

Рассмотрим подробно только заполнение первой строки:

Аналогичным образом заполняются оставшиеся 4 строки.

Обработка значений объектов по критерию «Удалённость»

Заметим, что второй критерий, удалённость, является убывающим. То есть, чем меньше удалённость, тем предпочтительнее объект. На ФП (см. рис. 2) это отразится тем, что она будет убывать, а не возрастать, как это было с первым критерием, с зарплатой.

Обратите внимание, что в случае с зарплатой нам хотелось получить большую по модулю положительную разность (например, 100 т.р. – 20 т.р. = 80 т.р.). А в случае с удалённостью хочется получить большую по модулю отрицательную разность. Например, 20 мин. – 60 мин. = -40 мин.

Рассмотрим подробно только заполнение первой строки таблицы:

Оставшиеся строки заполняются аналогичным образом.

Таблица 4. Значения функции предпочтения для критерия "Удалённость"

Обработка значений объектов по критерию «Перспектива»

H3(d)

1

0,8

0,6

0,4

0,2

0

Построение матрицы индексов предпочтения

По определению, матрица индексов предпочтения ‖П ‖ состоит из чисел, вычисляемых по

формуле:

П = ∑ ( − )

=1

где – число критериев (в нашем случае 3)

– веса критериев (о них скажем несколько слов ниже)

( − ) – значения функций предпочтения (они были построены выше)

Что касается весов критериев, то в нашем случае будем считать, что вес зарплаты составляет 40%, вес удалённости – 30% и вес перспектив тоже 30%. Существует всего 2 требования к весам. Вопервых, они должны быть положительными. А, во-вторых, в сумме они должны давать 1.

Меняя значения весов критериев можно получать разные результаты решения задачи. Например, если вес зарплаты будет очень большим, то наиболее предпочтительными объектами станут B3 и B4, поскольку эти работодатели предлагают самую высокую зарплату (80 т.р.).

На практике вес критериев либо задаётся ЛПР, либо вычисляется другими методами, о которых мы здесь говорить не будем. Отметим только, что в задачах, которые будут встречаться в курсе веса критериев так или иначе получены, то есть заданы и мы можем их использовать в процессе решения МКЗ.

Таблица 6. Сводная таблица значений ФП

Для наглядности все результаты проделанной выше работы и веса критериев собраны в табл. 6. Чтобы построить матрицу индексов предпочтения (табл. 7), нужно складывать значения всех (в нашем случае трёх) получившихся матриц, предварительно умножая их на весовой коэффициент. Закономерность можно проследить по клеткам, закрашенным в тёмно-синий и бордовый цвет в таблицах 6 и 7.

Таблица 7. Матрица индексов предпочтения

Далее, по матрице индексов предпочтения вычисляются коэффициенты прямого ( Ф+ ) и обратного (Ф− ) предпочтения. Коэффициенты прямого предпочтения представляют собой сумму значений матрицы индексов предпочтения по строкам, а коэффициенты обратного предпочтения – по столбцам.

Смысл этих коэффициентов достаточно прост. Коэффициент прямого предпочтения Ф+ показывает, насколько «хорош» объект в сравнении с другими объектами выборки. А коэффициент обратного предпочтения Ф− - насколько «плох» в сравнении с другими объектами выборки данный объект.

Матрица индексов предпочтения и коэффициенты прямого и обратного предпочтения являются информативной базой для разных модификаций метода PROMETHEE и по разному в них обрабатываются.

Номер модификации принято записывать римскими цифрами после названия метода. Например, PROMETHEE II, ORESTE IV. Вообще говоря, PROMETHEE – это целое семейство методов, поэтому следует указывать не только название, но и номер модификации, чтобы однозначно идентифицировать метод. Рассмотрим подробнее первую и вторую модификацию семейства методов

PROMETHEE.

PROMETHEE I

Результатом работы метода PROMETHEE I является матрица бинарных отношений. То есть матрица, в которой для всех пар объектов указывается одно из отношений:

N – отношение несравнимости двух объектов– отношение строгого предпочтения

~ – отношение безразличия (эквивалентности) двух объектов

В методе PROMETHEE I предпочтения строятся по правилам, указанным в табл. 8.

В примере, который рассматривается здесь, получим следующую матрицу бинарных отношений

(см. табл. 9):

Таблица 9. Матрица бинарных отношений, полученная методом PROMETHEE I

PROMETHEE II

В отличие от первой модификации, возвращающей матрицу бинарных отношений, вторая модификация метода PROMETHEE возвращает вектор рангов объектов. То есть упорядочивает объекты от лучшего (точнее от самого предпочтительного) к худшему (к наименее предпочтительному).

Для этого вычисляются разности Ф = Ф+ − Ф− для каждого объекта, а затем упорядочиваются в порядке убывания. То есть строятся ранги объектов в соответствии с правилом: самому большому значению Ф ставим ранг, равный 1. В итоге каждый объект получает свой ранг. Самые предпочтительные объекты имеют малые по значению ранги. То есть ранги можно рассматривать как номер в рейтинге самых лучших объектов.

Для рассматриваемого примера получили следующий результат (см. табл. 10)

Таблица 10. Вектор рангов объектов, полученный методом PROMETHEE II

Этот же результат можно переписать в виде:

2 1 3 5 4