Лекции по ТПР / Интерактивные методы решения МКЗ
.pdf
Модификация 2 (PROMETHEE 2)
Данная модификация позволяет упорядочить объекты. Для этого вычисляется один
коэффициент i |
(i 1, n) , характеризующий предпочтение Вi по следующей формуле: |
||
i |
|
|
|
i |
i . |
|
|
По значениям i объекты упорядочиваются.
Следует отметить, что не всегда предпочтительнее является модификация 2, так как больше информации о предпочтении объектов получает ЛПР, анализируя попарные отношения предпочтения. Так как этот метод является эвристическим, то получаемые результаты являются дополнительной информацией для ЛПР и ему лучше иметь исходную информацию в виде множества бинарных отношений, чем агрегированную в модификации 2.
Результаты решения задач с использованием описанных методов показывают, что использование метода PROMETHEE позволяет получить более устойчивые решения по сравнению с методом ELECTRE.
МЕТОД ORESTE
Название метода образовано из "Organisazion, RangEment ot SynTEze de donnecs relationnelles" (франц.). Метод позволяет выделить наиболее предпочтительный объект или упорядочить объекты по предпочтению. По подходу он относится к классу методов установления формальных бинарных отношений между объектами.
Отличительными особенностями метода являются:
a)критерии kj (j=1,...m) могут быть измерены как в шкале порядка, так и в шкалах интервалов или отношений;
b)ЛПР в методе не задает веса критериев, а лишь упорядочивает критерии по важности;
c)необычно в методе решается проблема агрегирования критериев.
На рис.2.7 приведен алгоритм метода. Рассмотрим отдельные этапы подробно.
На первом этапе осуществляется подготовка исходных данных для метода. Как указывалось выше, в методе ORESTE допускается упорядочение объектов по отдельным
критериям, т.е. достаточно иметь ранги объектов |
R j |
, i – индекс объектов (i=1,...,n), j – |
|
i |
|
индекс критериев (j=l,…,m). Если критерий kj измерен в шкалах интервалов или отно-
шений, то значения критерия |
k j |
необходимо перевести в ранги |
R j |
. Итак, после перво- |
||
|
i |
|
|
|
i |
|
го этапа получим матрицу рангов |
R j |
. Далее алгоритм метода будем рассматривать на |
||||
|
|
|
i |
|
|
|
числовом примере, приведенном в табл.2.2.
Таблица 2.2
Матрица рангов
Объек- |
k1 |
k2 |
K3 |
k4 |
ты |
|
|
|
|
В1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
В2 |
2 |
1 |
4 |
5 |
В3 |
3 |
5 |
1 |
3 |
В4 |
4 |
3.5 |
2 |
1.5 |
В5 |
5 |
3.5 |
5 |
1.5 |
1.Ранжирование объектов по каждому критерию
2.Ранжирование ЛПР критериев по важности (Rj)
3. Проецирование рангов (вычисление проекцийD |
i |
) |
||||
j |
||||||
|
|
|
|
|
||
4. Ранжирование проекций D |
i |
(вычисление r |
) |
|
||
j |
|
|||||
|
ij |
|
|
|
||
5.Упорядочение объектов
6.Расчёт коэффициентов предпочтения Cil
7. Ввод ЛПР порогов α,β,γ
8. Установление бинарных отношений между объектами
9. Анализ бинарных отношений
Рис. 2.3. Алгоритм метода ORESTE
На втором этапе ЛПР должно упорядочить критерии по их важности. Обозначим ранги критериев через Rj (j=1,..., m). Пусть в примере ранги критериев равны R1 = 1; R2
= R3 = 2.5; R4 = 4.
На следующем этапе осуществляется объединение рангов объектов R i и рангов j
критериев Rj в число Di , называемое проекцией рангов на числовую ось. Проецировать j
ранги можно с использованием различных видов проекций. Сформулируем свойства,
которыми должны обладать Di : j
а) если Вi предпочтительнее Вl по критерию kj, т.е. Rij
б) если Rij Rsi , а критерий kj более важен, чем ks, т.е. несколько видов проекций:
линейная ортогональная:
D |
i |
(R |
i |
|
|
|
|
||
|
j |
|
j |
|
линейная:
Rj , то Dj |
Dj |
; |
|
||
l |
i |
|
l |
|
|
Rj <Rs, то Di |
Di |
. Приведем |
|||
|
|
j |
|
s |
|
Rj ) / 2 |
; |
|
|
|
(2.6) |
Dij (1 a)Rij aRj ; |
(2.7) |
где а(0;1). Параметр а указывает, как учитываются ранги критериев и ранги объектов при вычислении проекции. Если а>0.5, то в большей степени учитываются ранги критериев, а при а<0.5 – ранги объектов. При а=0.5 линейная проекция становится ортогональной.
Понятие проекции введено в связи с числовой осью для определения
рангов объектов R ij на эту ось определяется коэффициентом Dij / Rij , а проекция рангов критериев Rj определяется Dij / Rj . Тогда для (2.7) отношения:
Dij |
/ Rij |
|
1 a |
const |
|
Dij |
/ Rj |
a |
|||
|
|
Отсюда и название проекции – линейная. Для линейной ортогональной:
DD
i j
i j
/R
/R
i j
j
1
.
Нелинейная проекция:
i |
i |
) |
p |
a(Rj ) |
p 1/ p |
, |
Dj |
[(1 a)(Rj |
|
] |
где р – произвольное, не равное нулю.
Для данной проекции:
Dij |
/ Rij |
|
1 a |
(Ri |
/ R |
) p 1 . |
|
|
|
||||
Dij |
/ Rj |
|
a j |
j |
|
|
(2.8)
(2.9)
Рекомендуется в (2.8) принять a=0.5. В этом случае ранги критериев и ранги объектов учитываются в проекции в равной степени. Тогда при разных р (2.8) имеет вид:
р = 1 – |
Dij |
среднеарифметическое рангов R ij и Rj (линейная ортогональная проек- |
||
ция); |
|
|
|
|
p = -1 – Dij |
среднегармоническое R ij |
и Rj; |
||
p = 2 – |
D j среднеквадратическое R j |
и Rj; |
||
|
i |
|
i |
|
при p - – min( R j |
, Rj); |
|
||
|
|
i |
|
|
при p – max( R j |
, Rj); |
|
||
|
|
i |
|
|
Чтобы определить, какое р использовать в (2.8), необходимо ЛПР задать следующий вопрос: как Вы считаете: вариант i по критерию kj в целом (глобально) более важен (предпочтительнее), чем вариант l по критерию ks?
Отметим, что в качестве объектов и критериев в вопросе следует выбирать те, для
которых |
Rj |
Rs |
, a |
Rj |
Rs |
. В противном случае ответ на вопрос будет очевиден. Из |
|
i |
l |
|
|
|
|
(2.9) при a=0.5 следует:
DD
i j
i j
/R
/R
i |
|
R |
|
|
|
j |
|
|
|
R |
|
j |
|
|
|
|
j(Ri
i j j
/
R |
j |
|
)
p 1
.
Из ответа ЛПР на заданный вопрос следует:
|
l |
|
p 1 |
|
R R |
j |
||
(R |
/ R ) |
|
|
s |
|
|||
|
|
|
i |
|
l |
|||
s |
s |
|
|
R |
R |
|||
|
|
|
|
|
j |
|
||
|
|
|
|
|
|
s |
||
(Ri j
/
R |
j |
|
)
p 1
,
т.е. можем определить верхнюю и нижнюю границы р. Задавая несколько раз подобные вопросы для разных объектов и критериев, можно установить границы параметра р. В рассматриваемом примере используем линейную ортогональную проекцию, тогда значения проекций равны (табл.2.3):
Таблица 2.3
Проекции рангов
Объекты |
k1 |
k2 |
k3 |
K4 |
|
|
|
|
|
В1 |
1 |
2.25 |
2.75 |
4 |
В2 |
1.5 |
1.75 |
3.25 |
4.5 |
В3 |
2 |
3.75 |
1.75 |
3.5 |
В4 |
2.5 |
3 |
2.25 |
2.75 |
В5 |
3 |
3 |
3.75 |
2.75 |
На следующем этапе производится ранжирование вычисленных проекций, т.е. все
элементы матрицы |
D j |
рассматриваются как одно множество и по величине |
D j |
они |
|
|
i |
|
|
i |
|
упорядочиваются. Результаты ранжирования обозначим через |
rj . |
|
|
||
|
|
|
i |
|
|
В табл. 2.4 приведены результаты ранжирования для числового примера. Следует подчеркнуть, что процедура ранжирования проекций решает проблему агрегирования критериев.
На следующем, пятом, этапе производится ранжирование объектов по предпочтению. Для этого вычисляется:
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r i rji (i=1,…,n), |
|
|
(2.10) |
|||
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
по значениям которых происходит упорядочение объектов. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 2.4 |
|
|
Ранжирование проекции и объектов |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Объекты |
k1 |
K2 |
k3 |
|
k4 |
|
ri |
|
|
В1 |
1 |
6.5 |
10 |
|
19 |
|
36.5 |
|
|
В2 |
2 |
3.5 |
15 |
|
20 |
|
40.5 |
|
|
В3 |
5 |
17.5 |
3.5 |
|
16 |
|
42 |
|
|
В4 |
8 |
13 |
6.5 |
|
10 |
|
37.5 |
|
|
В5 |
13 |
13 |
17.5 |
|
10 |
|
53.5 |
|
Для рассмотренного примера ri приведены в последней колонке табл.2.4. Соответ-
ственно порядок предпочтения объектов следующий: B1 B4 B3 B2 B5.
Необходимо отметить, что данные результаты упорядочения следует рассматривать как предварительное решение задачи из-за необоснованности (2.10). Вместе с тем результаты ранжирования объектов выдаются ЛПР для анализа. Если ЛПР удовлетворено полученным результатом, то процедура завершается, в противном случае переходим к следующему этапу.
На шестом этапе производится расчет коэффициентов предпочтения. Предпочтение объекта i над объектом l (Ci,l) можно оценить следующим образом:
Ci ,l |
|
2 |
m |
rj |
) rj |
rj |
] . |
(2.11) |
[(rj |
||||||||
|
|
1 |
l |
i |
l |
i |
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
При вычислении C i,l суммируются только положительные разности |
rj |
|
l |
мым суммируются разности рангов только по тем критериям, для которых Из (2.11) следует, что
r
rjl
j |
, тем са- |
i |
|
rji .
m |
m |
Ci ,l Cl ,i rjl |
rji r l r i . |
j 1 |
j 1 |
Максимально возможная разность C i,l - |
C l,i равна т2(п-1). Чтобы коэффициент |
предпочтения (Ci,l) изменялся в интервале [0;1], коэффициент C i,l нормируют:
Ci,l = Ci,l / [т2(п-1)].
Для рассматриваемого числового примера значения Ci,l приведены в табл.2.5.
Таблица 2.5
Коэффициенты предпочтения
Объекты |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В1 |
0.0 |
0.15 |
0.25 |
0.22 |
0.44 |
В2 |
0.05 |
0.0 |
0.28 |
0.09 |
0.40 |
В3 |
0.15 |
0.30 |
0.0 |
0.09 |
0.41 |
В4 |
0.16 |
0.47 |
0.13 |
0.0 |
0.27 |
В5 |
0.11 |
0.15 |
0.13 |
0.0 |
0.0 |
Чтобы лучше понять правила установления отношений между объектами, предста-
вим данные о Ci,l и Cl,i в виде точки на плоскости, как показано на рис. 2.8.
Чем ближе точка к оси абсцисс, тем больше разность Ci,l - Cl,i, т.е. с большим основанием можно говорить, что Вi предпочтительнее Вl. И наоборот, чем ближе точка к
оси ординат, тем Вl предпочтительнее Вi.
Если разность Ci,l - Cl,i небольшая и сами коэффициенты Ci,l и Cl,i малы, то между объектами Вl и Вi следует установить отношение безразличия. Чтобы сформулировать правила установления отношений между объектами, введем следующие пороги:
и (для определения отношения безразличия);
> 0 (для определения отношения предпочтения). Между объектами Вi и Вl устанавливаются:
a)отношение безразличия (Вi ~ Вl), если |Ci,l - Cl,i| и Ci,l и Cl,i ;
b)отношение предпочтения (Вi Вl), если |Ci,l - Cl,i|> и Cl,i / |Ci,l - Cl,i| ;
c)Вi и Вl несравнимы (Вi N Вl), если между ними не установлены отношения
предпочтения или безразличия.
Условие установления отношения предпочтения Вi Вl можно переписать в следу-
ющем виде: Cl,iCi,l∙/(1+ ), а для Вl Вi – в виде Cl,iCi,l∙/(1+ ).
Чтобы задать бинарные отношения между объектами достаточно определить пороги и , порог вычисляется на основе и и равен (1+ ).
Порог можно задавать любым, причем чем меньше , тем более жесткое условие для установления отношения предпочтения.
Что касается порога , то он может принимать небольшое значение. Во-первых, чем меньше , тем с большей уверенностью можно устанавливать отношение безразличия. Во-вторых, при больших может оказаться, что Вi~Вl, в то время как один из них доминирует другой. Предельный случай, когда Вi может доминировать Вl:
C |
|
m |
(r |
|
|
||||
|
|
l |
||
i ,l |
|
j |
||
|
|
j 1 |
|
r |
i |
) |
|
|
|
|
j |
|
m
, а
C |
i ,l |
|
1/[(n
1)m]
.
Значит, для ограничение будет
1 / [(n-1)m]. |
(2.12) |
Если в исходном множестве нет доминируемых объектов, то ограничение (2.12) не обязательно.
Отметим важное свойство отношения предпочтения. Показано, что отношение предпочтения транзитивно.
Рассмотрев вопросы установления бинарных отношений между объектами, вернемся к блок-схеме метода (рис.2.7). На седьмом этапе ЛПР должно задать пороги и , на основе которых строится матрица бинарных отношений.
Пусть в примере =0.06 и =1.5, тогда между объектами устанавливаются бинарные отношения, приведенные в табл.2.6.
Варьируя порогами и , ЛПР может изменять связность графа предпочтения: при увеличении увеличивается связность графа, причем все дуги, полученные при меньшем , остаются и к ним добавляются новые.
Если ЛПР не получило удовлетворяющее его решение, то целесообразно вернуться к первым этапам: ранжирование критериев (этап 2), выбор вида проекций (этап 3).
Таблица 2.6
Матрица бинарных отношений
Объекты |
В1 |
В2 |
В3 |
В4 |
В5 |
В1 |
~ |
|
|
N |
|
В2 |
|
~ |
N |
|
|
В3 |
|
N |
~ |
~ |
|
В4 |
N |
|
~ |
~ |
|
В5 |
|
|
|
|
~ |
Разделы Многокритериальные задачи Функциии полезности
Оценка объектов по многоуровневой системе критериев Решение МКЗ в условиях неопределённости