Лекции по ТПР / Интерактивные методы решения МКЗ

нирует В3, поэтому вариант 3 исключаем. Оставшиеся варианты конкурируют между собой (оптимальны по Парето).

На втором этапе зададим коэффициент замещения второго критерия первым. В данном примере ЛПР должно ответить на вопрос: сколько тыс.$ оно готово заплатить за каждый дополнительный квадратный метр площади. Пусть

Z2,1 k2 / k1 1 тыс.$/ м2 ,

т.е. на столько по критерию k1 он уступает при сравнении вариантов по критерию k2. С учетом заданного коэффициента замещения Z2,1 сравним варианты В1 и В2.

По критерию k1 вариант 1 предпочтительнее на б тыс.$, а по критерию k2, вариант

предпочтительнее В2, то В1 доминирует В2 и значит В2 должен быть исключен.

Здесь и далее во всех блок-схемах интерактивных методов двойными контурными линиями выделены блоки, выполняемые с участием ЛПР. При сравнении В1 и В4 получим:

(16 8)0,1 0,2тыс.$

Значит В5 предпочтительнее В1. Однако, надо иметь в виду, что вывод о предпочтительности В5 неустойчив. Действительно, если коэффициент замещения Z2,1 принять

После выбора наиболее предпочтительного объекта у ЛПР возникает неудовлетворенность, вызванная тем фактом, что выбран именно данный объект, а не другой. Такую неудовлетворенность называют конфликтом после решения.

На первых итерациях метода превалирует конфликт перед решением. На последующих итерациях “идеал” приближается к реальным объектам и конфликт перед решением уменьшается. Однако конфликт после решения может увеличиваться. Это свидетельствует о недостаточной изученности ЛПР решаемой задачи.

Рассмотрим подробно алгоритм метода, блок-схема которого приведена на рис.2.3.

ние объекта возрастает при уменьшении критерия. Если “идеал” принадлежит множеству объектов, то он и будет наиболее предпочтительным. Но так как МКЗ обычно решается на множестве эффективных объектов, то “идеальный” объект не будет принадлежать исходному множеству.

чтительных значений.

На втором этапе осуществляется переход от физических единиц измерения критериев к относительным в соответствии с выражением:

В относительных единицах все критерии будут изменяться в интервале [0;1], при

Первые два этапа выполняются автоматически без участия ЛПР. На третьем этапе ЛПР, исходя из своих суждений о важности критериев, задаёт веса критериев Wj ( j = 1,...,m).

В случае затруднения ЛПР может воспользоваться информационным подходом к определению важности критериев, На следующем, четвёртом, этапе рассчитываются расстояния объектов до “антиидеала”. В качестве метрики используется следующее выражение:

Используя в (2.2) разные р, можно получить различные метрики. Так, при р=1, по-

МЕТОД ELECTRE

Метод получил название от ELimination Et Choix Traduisant la REalite (франц.).

Пусть задано n объектов, все критерии kj (j=l,…,m) измеряются по шкале интервалов или отношений. По значениям j критерия построим ориентированный граф предпочтения объектов, дуги которого указывают на факт предпочтения по kj одних объек-

Очевидно, что для придания определенного смысла отношению предпочтения по всей совокупности критериев необходимо задать коэффициенты относительной важности (веса)

Для формирования логической функции, характеризующей отношение предпочтения, введем два коэффициента.

Коэффициент согласия (bi,l), равный сумме весов критериев, по которым Вi предпочтительнее Вl т.е.

Если объект i по всем критериям предпочтительнее объекта l, то bi,j = 1. Последнее означает, что Вi доминирует Вl. В этой связи следует отметить, что матрицу коэффициентов согласия можно использовать для выделения подмножества эффективных объектов (оптимальных по Парето).

Если исходное множество объектов оптимально по Парето, то все элементы матрицы bi ,l строго меньше единицы. Так как bi,j < 1 то это значит, что существует хотя бы

один критерий, по которому объект i менее предпочтительнее объекта l .

Это “обратное” предпочтение может быть очень существенным. Поэтому вводится в рассмотрение второй коэффициент.

Коэффициент несогласия (di,l) вычисляется по формуле

Если разность k lj k ij j , то это означает, что объект l предпочтительнее объекта i независимо от значений других критериев и, значит, Вi должен быть исключен из ис-

своих суждений о предпочтениях объектов. В случаях, когда ЛПР затрудняется задатьj , её можно определить как максимальную разность значений критерия j на заданном

Коэффициент несогласия так же, как и коэффициент согласия, меняется в интервале от нуля до единицы. Величина di,l показывает, насколько “обратное предпочтение” Вl перед Вi приближается к максимально допустимому.

С учетом введенных коэффициентов bi,l и di,l, формальное отношение предпочтения определяется следующей логической функцией: Bi Bl , если

a)совокупность критериев (с учетом их важности), по которым Вi превосходит Вl достаточно представительна. Поэтому обычно задают пороговое значение B, близкое к единице;

b)обратное предпочтение Вl перед Вi по некоторым критериям не дает достаточно оснований (обычно порог D близок к нулю) для отказа от предположения о превосходстве объекта l над объектом i. Величины порогов 0.5≤В<1; 0≤D≤1 задаются ЛПР исходя из своих суждений о предпочтительности объектов.

Нижняя граница В равна 0,5, потому что при В =0,5 и D=1 мы получим полносвязанный граф предпочтений, т.е. между каждой парой объектов будет обязательно установлено отношение предпочтения. Даже может получиться, что предпочтение будет установлено как при сравнении Вi с Вl так и при сравнении Вl с Вi. Это следует из того, что для вычисляемых по формуле (2.3) коэффициентов согласия выполняется

следующее неравенство: bi,l + bl,i ≥1.

Для заданных порогов В и D, используя (2.5), получим обобщенный граф предпочтений ║Ci,l║, причем этот граф будет не полностью связанным и не обязательно транзитивным, т.е. в нем могут присутствовать циклы.

может ввести поправку в обобщенный граф и устранить цикл.

В результате получим не связанный граф, который отражает отношение предпочтения между объектами. Причем множество объектов (групп объектов) будут не сравнимы (объекты 6 и 1 на рис.2.4). Следует отметить, что чем меньше В и больше D), тем обобщенный граф будет более связным, но вместе с тем следует ожидать в нем большое число циклов. Поэтому рекомендуется строить обобщенный граф предпочтения, начиная с больших значений В и малых D. Дело в том, что чем ближе значения порога В к единице, а D к нулю, тем жестче требования к установлению предпочтения. Если, например, при В=0,9 a D=0,15 получили несколько Ci,l=1, то в этом случае объекты Вl следует исключить из дальнейшего рассмотрения как бесперспективные с точки зрения поставленной задачи выделения наиболее предпочтительного объекта. Тем самым сократится исходное множество объектов.

Затем можно уменьшить порог В или увеличить D, анализируя сокращенное множество объектов.

Вышеописанная процедура исключения объектов допустима в случаях, когда величину j в формуле (2.4) для определения коэффициента несогласности ЛПР задаёт

само, и тогда j не зависит от исходных значений критериев. В этом случае значения

коэффициентов bi,l и di,l не зависят от исходного множества объектов.

В последующих модификациях метода ELECTRE для установления отношения

предпочтения используются коэффициенты, отличные от описанных выше bi,l и di,l . При сравнении двух объектов i и l по одному критерию kj могут устанавливаться

определенную роль, но не очень большую. Для установления этого отношения вводится еще одно пороговое значение pj>qj. При этом считается, что Вi Вl, если

3) отношение строгого предпочтения ( ), которое устанавливается между объекта-

пользуется отношение строгого порядка для всех критериев, при этом в общем случае пороги pj и qj могут зависеть от значений критериев сравниваемых объектов, часто в таких случаях используется линейная зависимость:

Таким образом, по каждому критерию kj между парой объектов устанавливается одно из вышеуказанных отношений. Все множество критериев m разбивается на три

Подобно коэффициенту согласия, для каждой пары объектов с учетом весов критериев W j , ( j 1, m) вычисляются коэффициенты безразличия, слабого и строгого пред-

почтения. Устанавливая пороговые значения для каждого коэффициента, строятся обобщенные графы для дальнейшего анализа ЛПР.

МЕТОД PROMETHEE

Метод получил свое название из аббревиатуры полного названия: Preference Ranking Organisation METHod for Enrichment Evaluations. В данном методе сравнения пар объектов i и l по каждому критерию используют функцию предпочтения Hj(d), где d – разность значений критериев двух объектов.

Пример пороговой функции предпочтения приведен на рис.2.5. Содержательно она отражает тот факт, что если разность k ij k lj p j несущественна, то объекты по крите-

рию j эквивалентны. При превышении разности порогового значения pj между объектами устанавливается отношение предпочтения.

H j (dij,l ) 1 соответствует тому, что объект i пред-

Рис.2.5. Функция предпочтения

тоже использовалась функция предпочтения, если принять pj =0 (j=1,...,m).

Можно использовать и другие функции предпочтения, которые позволяют оценить степень предпочтения пары объектов по j критерию непрерывной величиной, т.е Hj(d) меняется от нуля до единицы. Примеры таких функций приведены на рис.2.6.

Таким образом, ЛПР должно задать для каждого критерия функцию предпочтения

Hj(d).

Для оценки предпочтения Вi над Вl по всей совокупности критериев вводится ин-

Матрицу индексов предпочтения ║Пi,l║ можно представить в виде ориентированного графа предложений со взвешенными дугами, причем между каждой парой вершин устанавливаются две дуги с весами Пi,l и Пl,i.

На следующем этапе метода для каждого объекта определяются:

а) коэффициент предпочтения ( ) путем суммирования индексов предпочтения i

по всем выходящим дугам:

ранжирования объектов и используются по-разному в модификациях метода.

Модификация 1 (PROMETHEE 1)

В этой модификации формируются бинарные отношения между каждой парой объектов:

Вi не сравним с Вl во всех других случаях.

Множество установленных бинарных отношений предпочтений отражает частичный порядок объектов.