Лекции по ТПР / Метод ORESTE (5 объектов)
.pdfИнтерактивный метод ORESTE решения МКЗ
Название метода образовано из "Organisazion, RangEment ot SynTEze de donnecs relationnelles" (франц.).
Метод позволяет выделить наиболее предпочтительный объект или упорядочить объекты по предпочтению. По подходу он относится к классу методов установления формальных бинарных отношений между объектами.
Отличительными особенностями метода являются:
a) критерии k j ( j 1, 2,..., m) могут быть измерены как в
шкале порядка, так и в шкалах интервалов или отношений;
b)ЛПР в методе не задает веса критериев, а лишь упорядочивает критерии по важности;
c)необычно в методе решается проблема агрегирования критериев.
На рис.2.7 приведен алгоритм метода. Рассмотрим отдельные этапы на нашем примере с выбором места работы.
1.Ранжирование объектов по каждому критерию
2.Ранжирование ЛПР критериев по важности (Rj)
|
|
|
|
D |
i |
||
3. Проецирование рангов (вычисление проекций |
j ) |
||||||
|
|
||||||
|
D |
i |
|
|
|
|
|
4. Ранжирование проекций |
j |
(вычисление r |
) |
|
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
ij |
|
|
|
5.Упорядочение объектов
6.Расчёт коэффициентов предпочтения Cil
7. Ввод ЛПР порогов α,β,γ
8. Установление бинарных отношений между объектами
9. Анализ бинарных отношений
Рис. 2.3. Алгоритм метода ORESTE
Исходное множество вариантов:
Названи
еЗар. Удаленно Перспект
объекта |
Плата |
сть |
ивы |
Вариант 3 |
75 |
60 |
5 |
Вариант 4 |
60 |
50 |
9 |
Вариант 5 |
80 |
80 |
7 |
Вариант 7 |
80 |
70 |
4 |
Вариант 8 |
65 |
60 |
8 |
Вариант 6 исключен, т.к. он был доминируемым. Этап 1. Переход от матрицы значений критериев
k |
i |
|
j |
||
|
к
матрице рангов
R |
i |
|
j |
||
|
.Как указывалось выше, в методе
ORESTE
отдельным
объектов |
R |
допускается |
упорядочение |
объектов по |
|
j |
критериям, |
т.е. достаточно |
иметь ранги |
, i – индекс объектов (i 1, 2,...,n) , j – индекс |
|||
i |
|
|
|
критериев
( j
1,
2,...,m)
.
Если критерий
k |
j |
|
измерен в
шкалах интервалов или отношений,
k j необходимо перевести в ранги |
Rj |
|
i |
|
i |
этапа получим матрицу рангов |
R j . |
|
|
|
i |
то значения критерия
. Итак, после первого
|
|
|
Таблица 2.2 |
|
|
Матрица рангов |
|
|
|
|
Зар. |
Удален |
Перспе |
|
Объекты |
Плата |
ность |
ктивы |
|
Вариант 3 |
3.0 |
2.5 |
4.0 |
|
Вариант 4 |
5.0 |
1.0 |
1.0 |
|
Вариант 5 |
1.5 |
5.0 |
3.0 |
|
Вариант 7 |
1.5 |
4.0 |
5.0 |
|
Вариант 8 |
4.0 |
2.5 |
2.0 |
|
Этап 2. Упорядочение критериев по их важности.
Обозначим ранги критериев через |
R j ( j 1, 2,..., m) . Пусть в |
|||||
примере ранги критериев равны R1 |
1; R2 |
R3 |
2.5; . |
|||
Этап 3. Вычисление проекций рангов |
D j . |
|
|
|||
|
|
|
|
i |
|
|
Проекции |
объединяют ранги объектов |
Rj |
и ранги |
|||
|
|
|
|
|
i |
|
критериев R j |
в число Di |
. Обычно используют: |
|
|||
|
j |
коэффициент |
a (0;1) |
задается |
||
Dj (1 a)Rj aRj , где |
||||||
i |
i |
|
|
|
|
|
ЛПР. Коэффициент определяет в какой степени учитывать ранг критерия или ранги вариантов по каждому критерию.
Чаще всего в качестве а используют ½, что соответствует учету рангов критериев и объектов в равной степени.
D |
i |
(R |
i |
R |
) |
|
j |
j |
|||||
|
|
j |
|
В рассматриваемом примере значения проекций равны:
/ 2 ,
используем
a
1/
2)
, тогда
Проекции рангов
Объекты |
1 |
|
2 |
k |
3 |
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 3 |
2.0 |
2.5 |
3.25 |
||
Вариант 4 |
3.0 |
1.75 |
1.75 |
||
Вариант 5 |
1.25 |
3.75 |
2.75 |
||
Вариант 7 |
1.25 |
3.25 |
3.75 |
||
Вариант 8 |
2.5 |
2.5 |
2.25 |
||
Этап 4. Ранжирование
элементы матрицы |
D j |
|
i |
|
|
вычисленных проекций, т.е. все 
рассматриваются как одно
множество, и по величине
D |
i |
|
j |
||
|
они упорядочиваются.
Результаты ранжирования обозначим через
r |
i |
|
j |
||
|
.
Ниже в таблице приведены результаты ранжирования для числового примера. Следует подчеркнуть, что процедура ранжирования проекций решает проблему агрегирования критериев.
Ранжирование проекций
Объекты |
k1 |
k2 |
k |
3 |
r |
i |
|
||||||
|
|
|||||
Вариант |
|
|
|
|
|
|
3 |
5.0 |
8.0 |
12.5 |
25.5 |
||
Вариант |
|
|
|
|
|
|
4 |
11.0 |
3.5 |
3.5 |
|
18.0 |
|
Вариант |
|
|
|
|
|
|
5 |
1.5 |
14.5 |
10.0 |
26.0 |
||
Вариант |
|
|
|
|
|
|
7 |
1.5 |
12.5 |
14.5 |
28.5 |
||
Вариант |
|
|
|
|
|
|
8 |
8.0 |
8.0 |
6.0 |
|
22.0 |
|
Этап 5. Упорядочение вариантов (модификация 1
ORESTE) |
r |
|
приведены в |
Для рассмотренного примера |
i |
||
|
|
|
последней колонке таблицы рангов проекций. Соответственно порядок предпочтения объектов следующий: B4 B8 B5 B2 B3 B1 B7 .
Необходимо отметить, что данные результаты упорядочения следует рассматривать как предварительное решение задачи. Если ЛПР удовлетворено полученным результатом, то процедура завершается, в противном случае переходим к следующему этапу.
Этап 6. Расчет коэффициентов предпочтения.
|
|
|
|
|
|
|
|
Предпочтение объекта i над объектом l ( Ci,l ) |
|||||||
оценивается следующим образом: |
|
|
|||||
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
1 |
l |
i |
l |
i |
|
|
|
Ci,l |
2 [(rj |
rj |
) rj |
rj ] . |
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
При |
вычислении |
|
C |
суммируются |
только |
||
|
i,l |
||||||
положительные разности |
rj rj , тем самым суммируются |
||||||
|
|
|
|
l |
i |
|
|
разности рангов только по тем критериям, для которых
rj |
rj . |
|
|
|
l |
i |
|
|
|
|
Максимально возможная разность |
C |
C |
равна |
|
i,l |
l ,i |
m |
(n 1) . |
Чтобы коэффициент |
2 |
|
|
изменялся |
в интервале [0;1], |
|
нормируют:
Ci,l 2 Ci,l
m (n 1)
предпочтения
коэффициент
.
(Ci,l)
Ci,l
Для рассматриваемого числового примера значения коэффициенты предпочтения равны:
Объе |
B |
3 |
B |
4 |
B |
5 |
|
7 |
|
8 |
||
кты |
B |
B |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
B3 |
0.0 |
0.166 |
0.180 |
0.180 |
0.083 |
|||||||
B |
4 |
0.375 |
0.0 |
0.486 |
0.555 |
0.194 |
||||||
|
||||||||||||
B |
5 |
0.166 |
0.263 |
0.0 |
0.125 |
0.180 |
||||||
|
||||||||||||
B |
7 |
0.097 |
0.263 |
0.055 |
0.0 |
0.180 |
||||||
|
||||||||||||
B |
8 |
0.180 |
0.083 |
0.291 |
0.361 |
0.0 |
||||||
|
||||||||||||
Этап 7. Установление отношений предпочтений (модификация 2 ORESTE)
Чтобы лучше понять правила установления отношений между объектами, представим данные о Ci,l и Cl,i в виде точки на плоскости, как показано на рис. 2.8.
Чем ближе точка к оси абсцисс, тем больше разность Ci,l Cl ,i , т.е. с большим основанием можно говорить, что
Вi предпочтительнее Вl. И наоборот, чем ближе точка к оси ординат, тем Вl предпочтительнее Вi.
Если разность
C |
i,l |
C |
l ,i |
|
|
небольшая, и сами
коэффициенты Ci,l и Cl,i малы, то между объектами Вl и Вi следует установить отношение безразличия. Чтобы сформулировать правила установления отношений между объектами, введем следующие пороги:
и (для определения отношения безразличия);
> 0 (для определения отношения предпочтения). Между объектами Вi и Вl устанавливаются:
a)отношение безразличия (Вi ~ Вl), если |Ci,l - Cl,i|,
Ci,l и Cl,i;
b)отношение предпочтения (Вi Вl), если |Ci,l - Cl,i|>
и
C |
|
|
|
l ,i |
|
|
|
|
C |
C |
|
i,l |
l ,i |
|
;
c) Вi и Вl несравнимы (Вi N Вl), если между ними не установлены отношения предпочтения или безразличия.
Условие установления отношения предпочтения Вi Вl
можно переписать в следующем виде:
Вl Вi – в виде Cl ,i |
Ci,l |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
1 |
|
|||||
|
|
|
||||
C |
|
C |
|
|
l ,i |
i,l |
|
||
|
|
|
1 |
, а для
Чтобы задать бинарные отношения между объектами, достаточно определить пороги и , порог вычисляется на основе и и равен (1+ ).
Порог можно задавать любым, причем, чем меньше , тем более жесткое условие для установления отношения предпочтения.
Что касается порога , то он может принимать небольшое значение. Во-первых, чем меньше , тем с большей уверенностью можно устанавливать отношение безразличия. Во-вторых, при больших может оказаться, что Bi ~ Bl, в то время как один из них доминирует другой. Предельный случай, когда Bi может доминировать Bl:
m |
1 |
|
|
Ci,l (rjl rji ) m , а Ci,l |
. |
||
|
|||
m(n 1) |
|||
j 1 |
|
||
|
|
Значит, для ограничение будет
1 m(n 1)
.
Если в исходном множестве нет доминируемых объектов, то ограничение для ) необязательно.
Отметим важное свойство отношения предпочтения. Показано, что отношение предпочтения транзитивно.
Рассмотрев вопросы установления бинарных отношений между объектами, вернемся к блок-схеме метода (рис.2.7). На седьмом этапе ЛПР должно задать пороги и , на основе которых строится матрица бинарных отношений.
Пусть в примере |
0.05 |
и |
1.4 |
, тогда между |
объектами устанавливаются бинарные отношения, приведенные в таблице 2.6.
Варьируя порогами и , ЛПР может изменять связность графа предпочтения: при увеличении увеличивается связность графа, причем все дуги, полученные при меньшем , остаются, и к ним добавляются новые.
Если ЛПР не получило удовлетворяющее его решение, то целесообразно вернуться к первым этапам: ранжирование критериев (этап 2), выбор вида проекций (этап 3).
Матрица бинарных отношений
Объе |
B |
3 |
B |
4 |
B |
5 |
B |
7 |
B |
8 |
|
кты |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
B3 |
~ |
< |
N |
> |
< |
||||||
B 4 |
> |
~ |
> |
> |
> |
||||||
B5 |
N |
< |
~ |
> |
< |
||||||