Лекции по теории механизмов и машин

Как видно из формулы, модуль определяется также отношением диаметра делительной окружности к числу зубьев колеса.

Модуль зубчатого колеса – основная стандартная величина. Его единица измерения – миллиметры. Согласно ГОСТ 9563-60** установлено два ряда модулей, до которых следует округлять расчетные значения модуля.

В первом, предпочтительном, ряду предусмотрены следующие модули, мм:

0,05; 0,06; 0,08; 0,1; 0,12; 0,15; 0,2; 0,25; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,8; 1,0; 1,25; 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 16; 20; 25; 32; 40; 50; 60; 80; 100.

Во втором ряду предусмотрены модули, промежуточные между модулями первого ряда, например: 3,5; 4,5; 5,5; 7; 9 и т.д.

В зацеплении двух колес делительные окружности иногда совпадают с соответствующими начальными окружностями. Профили зубьев имеют часть, выступающую за делительную окружность, называемую головкой зуба, и часть, лежащую внутри делительной окружности, называемую ножкой зуба. Обычно высоту ha головки зуба и высоту h f ножки зуба принимают следующими:

ha m; h f 1,25 m.

Больший размер ножки по сравнению с головкой обеспечивает зазор между головками зубьев и впадинами: c* 0,25 m.

С учетом изложенного диаметр вершин зубьев нормального колеса da d 2 ha m z 2 m m ( z 2),

откуда следует полезная в практическом применении зависимость:

Толщина зуба s по делительной окружности и ширина впадины e у нормальных колес

одинаковые, т.е.

Остальные размеры колес несущественно влияют на характер зацепления.

81

ЭВОЛЬВЕНТА ОКРУЖНОСТИ Основные свойства и уравнение эвольвенты

Эвольвентой окружности называется плоская кривая, которую описывает любая точка прямой линии при её перекатывании без скольжения по окружности.

Основной окружностью называется окружность радиуса rb , по которой перекатывалась прямая, а прямая – производящей прямой (рисунок 8). Эвольвенту описывает также любая точка нерастяжимой нити при её сматывании в натянутом состоянии с барабана радиусом rb .

Следовательно, эвольвента является разверткой окружности. Начинаясь на основной окружности (точка А), точки эвольвенты все более удаляются от нее и уходят в бесконечность.

Эвольвента имеет две ветви – правую и левую (на рисунке 8 показана штрихами), в

зависимости от того, в каком направлении по основной окружности перекатывается производящая прямая.

Рисунок 8

Отрезок ОВ называется текущим радиусом-вектором R.

Начальный радиус-вектор эвольвенты ОА равен радиус rb основной окружности.

Острый угол ТОВ между касательной ТТ к профилю зуба в точке В и ее радиусом вектором ОВ, называется профильным углом зуба и обозначается .

82

Угол θ, образованный начальным радиусом-вектором эвольвенты ОА и ее текущим

радиусом-вектором ОВ, называется эвольвентным углом, или инволютой угла :

θ = tg .

Выведем данное равенство. Нетрудно заметить, что отрезки касательных к основной

окружности являются спрямленными дугами основной окружности. Отсюда следует, к

примеру, что АЕ=СЕ, АЕК=ВК. Точки Е и К являются центрами кривизны эвольвенты

Значения инволют легко определяемы. Например,

inv20 tg20 20 0,3639702 0,3490658 0,014904. 180

Для инволютной функции составлены таблицы, аналогичные тригонометрическим,

которые приведены в специальной литературе.

Связь между текущим радиусом-вектором R и углом устанавливается из треугольника ОКВ зависимостью

Формулы (6) и (7) выражают уравнение эвольвенты в параметрической форме.

Основные свойства эвольвенты:

1)Производящая прямая касается основной окружности и нормальна к эвольвенте в точке, которую она в данный момент образует (ВК ТТ). Отсюда,

положение нормали в любой точке эвольвенты будет определено, если провести из этой точки эвольвенты прямую, касательную к основной окружности.

2)Точка К является центром кривизны эвольвенты I в точке В, а точка Е –

центром кривизны эвольвенты в точке С. Тогда радиус кривизны эвольвенты в

83

данной точке есть отрезок производящей прямой, заключенный между эвольвентой и точкой касания к основной окружности: B BK;

C CE.

3)Профильный угол и радиус кривизны в начальной точке А эвольвенты равны нулю. По мере удаления точек эвольвенты от основной окружности профильный угол увеличивается. При этом увеличиваются и радиусы кривизны эвольвенты. При увеличении радиуса основной окружности эвольвентный профиль постепенно теряет свою кривизну и при rb

эвольвента преобразуется в прямую.

Построение эвольвенты

Эвольвента может быть построена по точкам. При этом иногда требуется, чтобы она проходила через точку Р, лежащую вне основной окружности, как показано на рисунке 9.

Рисунок 9

Построение эвольвенты ведем в следующем порядке:

1)Через точку Р проводим касательную РК к основной окружности (на рисунке 9

точка Р – это точка 6 , точка К – это точка 6).

2)Отрезок КР (отрезок 6 6 ) делим на произвольное число равных частей. Для большей точности построения рекомендуется выбирать длину одной части а не более 5…10 мм.

3)Отрезок а откладываем по основной окружности вправо и влево от точки К. В

каждой из полученных точек 1, 2, 3… проводим касательные к основной

84

окружности. Касательные надо построить очень точно, для чего следует

предварительно провести в указанные точки радиусы основной окружности.

4)От точек 1, 2, 3… откладываем: на первой касательной один отрезок а, на второй касательной – 2а, на третьей – 3а и т.д.

5)Полученные точки 1', 2', 3'… соединяем плавной кривой, являющейся

эвольвентой, проходящей через произвольную точку Р.

Заметим, что центры основных окружностей совпадают с центрами вращения

зубчатых колес.

СВОЙСТВА И ЭЛЕМЕНТЫ ЭВОЛЬВЕНТНОГО ЗАЦЕПЛЕНИЯ

По ГОСТ 16530-83 трехзвенный зубчатый механизм называется зубчатой передачей.

Зубчатая передача с параллельными осями вращения колес называется

цилиндрической, так как мгновенная ось вращения в относительном движении звеньев у каждого из колес располагается на цилиндрической поверхности – на начальном цилиндре радиусом rw.

Рассмотрим на рисунке 10 эвольвентное зацепление двух колес: одного с центром вращения в точке О1 и другого – с центром вращения в точке О2.

aw

Рисунок 10

85

Пусть кривые 1 и 2, соприкасающиеся в точке К, – это профили зубьев, очерченных по эвольвенте. Обозначим радиусы основных окружностей колес соответственно

Проведем через точку К общую нормаль NN к касающимся профилям. Очевидно, что эта нормаль является общей касательной к основным окружностям, так как согласно одному из свойств эвольвенты нормаль к профилю Э1 в любой его точке касается основной окружности радиуса rb1 , а нормаль к профилю Э2 в любой его точке согласно тому же

свойству эвольвенты касается основной окружности радиуса rb2 . Так как точка К – общая

для обоих профилей, то очевидно, что и нормаль NN – общая касательная к основным окружностям.

Сделанный вывод может быть распространен на все точки касания зубьев, поскольку рассматривалась произвольная точка касания. Таким образом, точка контакта К зубьев эвольвентного профиля всегда перемещается по прямой NN.

Как видим, у эвольвентных профилей линия зацепления представляет собой прямую линию, являющуюся общей касательной к основным окружностям и в то же время общей нормалью к профилям зубьев в любой точке их касания. Так как нормаль NN сохраняет постоянное положение в плоскости вращения колес, то и полюс зацепления Р не меняет своего положения. Отсюда:

первое свойство эвольвентного зацепления: эвольвентное зацепление обеспечивает

постоянство передаточного отношения в процессе зацепления.

На основании теоремы Виллиса можно записать соотношение (3) в виде

i12 1 O2P const .

2 O1P

Отрезок N1N2 линии зацепления, заключенный между точками касания ее с основными окружностями, называют теоретической линией зацепления.

Весьма важным является тот факт, что давление на зуб ведомого колеса со стороны ведущего колеса происходит в постоянном направлении – вдоль нормали NN, что обеспечивает постоянное направление реакций опор колес и предотвращает их расшатывание.

Проведем через полюс зацепления Р общую касательную ТТ к начальным окружностям и обозначим угол между линиями NN и ТТ через w . Этот угол называют

углом зацепления. Стандартный угол зацепления w =20°.

Как видно из рисунка 10, для любого колеса

86

rb rw cos20 0.94 rw.

Основные геометрические элементы эвольвентного зацепления:

1)Линия зацепления – прямая N1N2, общая нормаль к сопряженным профилям зубьев.

2)Полюс зацепления – точка Р пересечения линии зацепления с линией центров

О1О2.

3)Угол зацепления w – угол, образуемый линией зацепления и перпендикуляром к линии центров, проведенным через точку Р.

4)Межосевое расстояние

aw rw1 rw2 для внешнего зацепления; aw rw2 rw1 для внутреннего зацепления.

Второе свойство эвольвентного зацепления (которое используется при

проектировании зубчатых передач): в эвольвентном зацеплении при некотором изменении

межосевого расстояния зацепление не нарушается, а изменяется угол зацепления так,

что произведение межосевого расстояния на косинус соответствующего ему угла зацепления остается величиной постоянной

aw cos a1w cos1,

при этом сохраняется ранее предусмотренное передаточное отношение.

Третье свойство эвольвентного зацепления: при внешнем зацеплении эвольвентные профили являются сопряженными только в пределах отрезка N1N2 линии зацепления

(см. рисунок 10), сопряжение эвольвентных профилей внутреннего зацепления возможно лишь вне участка N1N2 линии зацепления (на рисунке не показано).

СОПРЯЖЕННЫЕ ТОЧКИ. РАБОЧАЯ ЛИНИЯ ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Имея на чертеже линию зацепления, легко найти сопряженные точки – точки профилей зубьев, соприкасающиеся при работе механизма (рисунок 11).

Пусть на профиле колеса 1 все точки его двигаются вокруг центра O1 , а все точки колеса 2 – вокруг центра O2 (на рисунке 11 эти центры не показаны).

Касание профилей будет происходить по линии зацепления NN. Поэтому построение проводим следующим образом. Из центра O1 радиусом O1e1 проводим дугу до пересечения

ее в точке Е с линией зацепления, затем из центра O2 радиусом O2 E делаем засечку на

87

профиле колеса 2. Полученная точка e2 является той точкой профиля зуба 2, с которой будет контактировать точка e1.

Аналогично можно получить рабочие участки профилей зубьев, т.е. участки, взаимно соприкасающиеся при работе передачи. Заметим, что нерабочая часть профиля зуба называется корнем зуба.

Для нахождения рабочих участков профилей находим точку А – точку пересечения

окружности выступов колеса 2 с линией зацепления и радиусом O1 A (с центром в точке

O1) делаем засечку на профиле зуба колеса 1. Аналогично, найдя точку пересечения

окружности выступов колеса 1 (точку В), радиусом O2 B (с центром в точке O2 ) делаем засечку на профиле зуба колеса 2. Полученные рабочие участки профилей a1b1 и a2b2

обводят двойной линией.

Рисунок 11

Участок АВ линии зацепления NN называют рабочей (активной) линией зацепления.

Рабочая (активная) линия зацепления является геометрическим местом точек касания зубьев на неподвижной плоскости.

88

СКОЛЬЖЕНИЕ ОДНИХ ЗУБЬЕВ ПО ДРУГИМ

Рассмотрим пару зубчатых колес, контактируемых в данный момент в точке К

(рисунок 12).

Рисунок 12

Мысленно зададим обоим колесам вращательное движение с угловой скоростью (–

ω1) вокруг центра вращения первого колеса по методу обращенного движения. Тогда первое колесо станет неподвижным, а второе колесо начнет вращаться с угловой скоростью

( 2 1 ). Поскольку точка Р – мгновенный центр относительного вращения колес,

скорость точки К, считая ее принадлежащей колесу 2, определим по формуле

где l – расстояние между точками Р и К.

89

В действительности 0, а скорость vK представляет собой скорость скольжения зуба одного колеса по зубу другого колеса.

Износ профилей зубьев пропорционален скоростям скольжения. При постоянных скоростях ω1 и ω2 расстояние l все же изменяется и по мере удаления точки контакта К от полюса зацепления Р износ зубьев увеличивается. В связи с этим при проектировании зубчатых передач стремятся к тому, чтобы точки касания К по возможности меньше удалялись от полюса зацепления, располагая профили зубьев вблизи начальных окружностей.

Запишем формулу (8) в следующем виде:

Как видим, скорость скольжения увеличивается в передачах с внешним зацеплением

(i12<0) и уменьшается в передачах с внутренним зацеплением (i12>0). Особенно большая разность скоростей скольжения получается при передаточных отношениях i12, близких к единице.

Так, при i12 = ±0.8 получаем для внешнего зацепления

vK 2 l (1 0.8) 1.8 2 l ,

для внутреннего

vK 2 l (1 0.8) 0.2 2 l ,

т.е. в этом случае скорость скольжения при внутреннем зацеплении в 9 раз меньше, чем при внешнем зацеплении. Заметим также, что при l =0 (точка контакта К совпадает с полюсом зацепления) скорость скольжения равна нулю.

90