Затем в цикле по столбцам j к сумме прибавляется элемент уравнения k по схеме: B = B + Akj × X[Rj]. Цикл по столбцам j производится по значениям от N – 1 до k + 1.

После цикла по строкам вычисляется корень k: X[Rk] = AkN – B / Akk.

Варианты СЛАУ

См. задание № 5.

Практическое задание №8. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Краткое описание задания: заданы N точек некоторой известной функции вида f(x). Вычислить интерполяционный многочлен Лагранжа и значение функции в произвольной точке.

Методические указания

1.Программа ничего не принимает с клавиатуры. Все исходные данные задаются в коде программы, как правило, в основном модуле, во время вызова функции метода (внутри функции main).

2.Программа решает задачу одним способом.

3.Название модуля (файла типа .h) для функции метода — mlagran.

4.Название функции метода — lagran.

5.Сигнатура функции метода для способа 1 имеет следующий вид:

double lagran(int N, double X0[], double Y0[], double X);

Здесь:

-N — число точек минус 1;

-X0 — массив значений xi;

-Y0 — массив значений y=f(xi);

-X — искомая точка.

Функция метода возвращает вычисленное значение интерполируемой точки X.

6. В основной функции вызывается вспомогательная функция, называе-

мая далее функцией вычислений. Функция вычислений производит вычис-

ление точек, вызов функции метода и вывод результатов.

Порядок выполнения задания

1. Сначала выполните действие 1, описанное выше в разделе «Общий порядок выполнения очередного (не первого) задания».

43

2.Добавьте в решение новый модуль типа .h (заголовочный) с названием mlagran. Процесс добавления нового модуля описан в практическом задании №1.

3.Добавьте в новый модуль файловый комментарий, например:

4. Добавим описание константы (число точек), массивы для значений точек и значений функции в этих точках, а также функцию, которая используется для интерполяции:

//Число точек

#define NOL 5

//Значения X double XOL[NOL];

//Значения Y double YOL[NOL];

//интерполируемая функция (тангенс) double flagran(double x) {

return tan(x);

}

5.Добавим вспомогательную функцию, которая будет вычислять i-тый полином Лагранжа li(x):

//Вычисляет i-тый полином l[i](x)

double ilagran(int N, double X0[], double X, int i) { double L = 1.0, a = 0.0;

return L;

}

6. Добавим функцию метода:

/* Вычисляет значение функции в точке X многочленом Лагранжа */ double lagran(int N, double X0[], double Y0[], double X) {

double Y = 0.0, a = 0.0; return Y;

}

7.Добавим функцию вычислений:

//Производит вычисления

void s_lagran() {

printf("***** Lagrange method *****\n\n");

}

44

8. Перейдем в основной модуль VM1.cpp.

Вызовем функцию вычислений в основной функции:

void _tmain() { s_lagran();

}

9. Возвращаемся в модуль mlagran.h.

В функции вычислений вычислим значения точек X0 и значения вычисляемой функции Y0 в этих точках. Одновременно вычислим точное значение функции в точке 0,75 и вычисленное значение:

void s_lagran() {

printf("***** Lagrange method *****\n\n");

int i = 0; XOL[i] = -1.5;

for (i = 1; i < NOL; i++ ) { XOL[i] = XOL[i - 1] + 0.75;

}

for (i = 0; i < NOL; i++ ) { YOL[i] = flagran(XOL[i]);

}

double x = 0.75;

// точное значение функции в точке x

double y = lagran(NOL, XOL, YOL, x); printf("Calculated: f(%0.4f)=%0.4f\n\n", x, y);

}

10. Описываем вычисление i-того многочлена Лагранжа по формуле (функция ilagran):

li (x) = ∏N −1 x −−x j

j=0, j≠i xi x j

Заметим, что вычисление произведения начинается со значения, равного единице. Значением произведения является переменная L, которая возвращается функцией. Переменная a предназначена для вычисления значения одного элемента произведения (x–xj)/(xi –xj).

11. Описываем вычисление функции по формуле (функция lagran):

N −1

f(x) = ∑f (xi )li (x)

i=0

Заметим, что вычисление суммы начинается со значения, равного нулю. Значением суммы является переменная Y, которая является результатом вычислений.

45