C2C4_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ρ (A; BDC )=

1 0 + 1 0 − 1 0 − 1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

Плоскость, проходящая через точки B,

D, C1, имеет вид x + y – z – 1 = 0 (см. пример 4).

Расстояние между прямыми AB1 и BD равно расстоянию от точки A до плоскости BDC1:

Ответ: 3 .

		Рис. 6.8
	3	Рис. 6.8
	3

Векторный метод

Рассмотрим векторный подход к решению задач данного вида.

Пусть даны прямаяGl1 с направляющим вектором q1 и l2 с направляющим вектором q2. Точки A1 и A2

лежат на прямых l1 и l2 соответствен-
JJJJJJG	G
но, A1 A2	= m (рис. 6.9).
Чтобы определить расстояние
между прямыми l1 и l2, то есть
длину их общего перпендикуляра
P1P2 (P1 l1 и P2 l2), представим век-							Рис. 6.9
JJJJG	в следующем виде:						Рис. 6.9
тор P1P2	в следующем виде:			JJJJJG	G	G	G
	JJJJG	JJJJJG	JJJJJJG	JJJJJG	G	G	G
	P1P2	= P1 A1	+ A1 A2	+ A2 P2	= x q1	+ m + y q2.

Неизвестные коэффициенты x, y находятся из условия перпен-

JJJJG

дикулярности вектора P P

векторам q

и q :

JJJJG

1 2

P1P2

= 0,

(x q1

+ m + y q2 ) q1

= 0,

JJJJG

= 0

= 0.

P P

(x q

+ m + y q

) q

Искомое расстояние выражается следующим образом:

JJJJG

G 2

P1P2

= (x q1 + m + y q2 ) .

В большинстве случаев при решении подобных задач удобнее

ввести декартову систему координат, выразить векторы q1

q2,

через ее базисные векторы и провести все вычисления в координатной форме.

Пример 8. В правильной четырехугольной пирамиде MABCD с основанием ABCD высота и сторона основания равны 4, точки E

Лекция 6

и F — середины ребер AM и DC соответственно. Найти расстояние между прямыми BE и FM.

Решение. Введем декартову систему координат следующим образом. Пусть начало координат O находится в центре основания, ось x проходит через точку O параллельно ребру AD, ось y проходит через точку O параллельно ребру AB, ось z проходит через точку O перпендикулярно плоскости основания (рис. 6.10). Тогда вершины

пирамиды имеют координаты:

A(–2; –2; 0), B(–2; 2; 0), C(2; 2; 0), D(2; –2; 0), M(0; 0; 4).

В этой системе координат E(–1; –1;

2) и F(2; 0; 0). Введем векторы

JJJJG

= {1; − 3; 2},

= q

JJJJG

= {−2; 0; 4} и

= q

JJJJG

Тогда

= m = {1; 1; 2}.

qG2

= 1 1 + (−3) (−3) + 2 2 = 14,

qG2

= (−2) (−2) + 0 0 + 4 4 = 20,

= 1 1 + 1 1 + 2 2 = 6,

= 1 (−2) + (−3) 0 + 2 4 = 6,

q m = 1 1 + (−3) 1 + 2 2 = 2,

= (−2) 1 + 0 1 + 4 2 = 6.

Рис. 6.10

q2 m

Пусть отрезок PQ есть общий перпендикуляр скрещивающихся

JJJG

прямых BE и FM. Представим вектор PQ в виде:

JJJG

. JJJG

PQ = x

+ m + y q2

Из условия перпендикулярности вектора PQ векторам qG и qG

получаем:

G G

= 0,

14x + 2 + 6y = 0,

(x q

+ m

+ y q

) q =

x q

+ mq + y q q

G1 G

1 G22

= 0

= 0.

(x q + m

+ y q

) q =

x q q + mq

+ y q

6x + 6 + 20y

Отсюда x = −

, y = −

. Тогда

JJJG

1 G

18 G

PQ = −

q1 + m −

q2 = −

{1; − 3; 2} + {1; 1; 2} −

{−2; 0; 4} =

{96; 64; 48},

JJJG

962 + 642 + 482 =

Ответ: 16 61 . 61

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

Задачи для самостоятельного решения

9.В единичном кубе A…D1 найти расстояние между диагональю куба BD1 и диагональю грани AB1.

10.В правильной шестиугольной призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми AB1 и BC1.

11.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми MA и BC.

Угол между двумя прямыми

При нахождении угла ϕ между прямыми m и l используют формулу

cos ϕ =

(5)

или в прямоугольной декартовой

системе координат:

cos ϕ =

x1x2 + y1y2

+ z1z2

(6)

+ y2

+ z2

+ y2

+ z2

где pG = {x1; y1; z1} и qG

= {x2; y2; z2 } — направляющие векторы прямых

m и l; в частности, для того, чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимоG G и достаточно, чтобы

p q = 0, или x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

Векторно-координатный метод

Пример 9. В правильной шестиугольной призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB1 и BF1.

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 6.11. Тогда

	−		1		; −			3						1			−	3
			1					3						1				3
A									; 0		, B					;				; 0 ,
A			2			2			; 0		, B			2		;		2		; 0 ,
			2			2								2				2
	1				−	3					F		(–1; 0; 1),
B1				;				; 1 ,
B1				;				; 1 ,
	2				2						1
JJJJJG		= {1; 0; 1},									JJJJG							3		3
JJJJJG											JJJJG							3		3
AB											BF			=			−		;		; 1 .
AB											BF			=			−		;		; 1 .
	1												1					2		2
Отсюда																		2		2
Отсюда								JJJJJG			JJJJG							1
								AB1		BF1											2
cos ϕ =								AB1		BF1					=			2		=	2
							JJJJJG				JJJJG											,
							JJJJJG				JJJJG							2 2			8	,
							AB1				BF1							2 2			8
								2
ϕ = arccos								2	, где ϕ — искомый угол.
ϕ = arccos									, где ϕ — искомый угол.
						8
Ответ: arccos												2			.
Ответ: arccos															.								Рис. 6.11
											8												Рис. 6.11

Лекция 6

Рис. 6.12

откуда находим

Векторный метод

Пример 10. В кубе A…D1 найти угол между прямыми EF и PQ, где E, F, P, Q — середины ребер DD1,

BC, AA

и B

соответственно.

JJJJG

Решение. Пусть AD

= a,

AB = b,

JJJJJG

где

= 1,

AA1 = c,

G G

a b = a c = b c = 0 (рис. 6.12).

Тогда

JJJG

1 G

JJJG

JJJJG

= ED + DC

+ CF

= −

c + b

−

JJJG

JJJJG

JJJJJG

JJJJG

1 G

PQ = PA

+ A B

+ B Q =

+ b +

JJJG JJJG

1 G

1 G2

1 G

PQ EF

+ b

−

+ b

−

= b

−

= 1

−

Так как

JJJG	1	; 1;	1	JJJG	−	1	; 1; −	1
PQ				и EF					в ортонормированном базисе, то
	2					2		2
			2

JJJG	=	1	+ 1	+	1		=	3	,	JJJG			=				1		+ 1+			1	=	3	,
JJJG		1			1			3		JJJG							1					1		3
PQ										EF
PQ		4			4			2		EF							4					4		2
		4			4			2									4					4		2
							JJJG JJJG
		cos ϕ =					PQ EF				=			1		3		=		1
						JJJG			JJJG					1	:	3				1	.
						JJJG			JJJG						:						.
					PQ				EF			2 2							3

Отсюда ϕ = arccos 1 , где ϕ — искомый угол.

Ответ: arccos 1 . 3

Задачи для самостоятельного решения

12. В единичном кубе A…D1 найти угол между прямыми AE и DF, где E и F — точки, расположенные на ребрах CD и C1D1 так, что

DE = 1 DC, C F = 1 C D .

31 3 1 1

13.В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, ребра которой

равны l, найдите угол между прямыми AC1 и B1C.

14. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны, точки E, F — середины ребер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми AE и BF.

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой l и плоскостью α можно вычислить по формуле

sin ϕ =

(7)

или в прямоугольной декартовой системе координат:

sin ϕ =

x1x2 + y1y2

+ z1z2

(8)

+ y2

+ z2

+ y2

+ z2

где nG

= {x ; y ; z

}—

}—векторнормалиплоскостиα, pG = {x ; y ; z

направляющий вектор прямой l; в частности, прямая l и плоскость α параллельны тогда и только тогда, когда x1x2 + y1y2 + z1z2 = 0.

В задачах на вычисление угла между прямой и плоскостью или угла между пересекающимися плоскостями в общем случае уравнение плоскости находить не требуется. Координаты вектора нормали можно вывести, если известны координаты трех точек плоскости: M, N, P, не лежащих на одной прямой. Для этого находим координаты

двух векторов плоскости:				G	JJJJG
G	JJJJJG			G	JJJJG	= {b ; b ; b			}.
a = MN = {a ; a ; a				} и b	= MP	= {b ; b ; b			}.
	1	2	3			1	2	3
Предположим, что вектор с координатами nG							= { p; q; r} (здесь p,

q, r — неизвестные числа, которые нужно найти) перпендикуляренG G

любому вектору плоскости α, в том числе векторам a и b. Его коор-

динаты ищутся из условий равенства нулю скалярных произведений
G	G	G
n	с векторами a	и b из следующей системы уравнений:
		nG aG		= 0,	a p + q q + a r = 0,
			G			1	2	3
		G	b	= 0		b p + b q + b r = 0.
		n	b	= 0		1	2	3

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как векторов, перпендикулярных плоскости α, бесконечно много. Выразив, например, из системы координаты p и q через r, выберем ненулевой вектор nG = {p(r); q(r); r}, взяв в качестве r какое-нибудь число (обычно берут такое число, чтобы в координатах не было дробей или радикалов).

Векторно-координатный метод

Пример 11. В единичном кубе A…D1 найти угол между прямой AD1 и плоскостью α, проходящей через точки A1, E и F, где точка E — середина ребра C1D1, а точка F лежит на ребре DD1 так, что

D1F = 2DF.

Лекция 6

Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 6.13. Тогда

A(0; 0; 0), A1(0; 0; 1), D1(1; 0; 1), E 1;

; 1 ,

F 1; 0;

JJJJJG

JJJJG

AD =

{1; 0; 1},

A E = 1;

; 0 ,

A F =

1; 0; −

Пусть

= {x; y; z}

— вектор, пер-

пендикулярный плоскости α.

Найдем его координаты из условий

перпендикулярности этого вектора век-

JJJJG

торам A1E и A1F, то есть из условий

JJJJG

= 0,

A1E

JJJJG

или

A F

= 0

= 0,

y = −2x,

Рис. 6.13

−

= 0

z = 1,5x.

Пусть x = 2, тогда y = –4, z = 3 и nG = {2; − 4; 3},

29.

Так как

JJJJJG

2 и AD

n = 1 2 + 0 (−4) + 1 3 = 5, то

JJJJJG

sin ϕ =

AD1

JJJJJG

Отсюда ϕ = arcsin

Ответ: arcsin 5 . 58

Векторный метод

Пример 12. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны, найти угол между прямой DE, где E — середина апофемы SF грани ASB, и плоскостью ASC.

Решение. Так как прямая OD перпендикулярна плоскости ASC, то

JJJG

вектор OD является вектором нормали плоскости ASC.

JJJJG

= 1,

G G

= 0,

Пусть AD = a,

AB = b,

AS = c, где

a b

G G

cos 60° = 0,5 (рис. 6.14). Тогда

a c

= b

c = 1 1

JJJJG JJJG

JJJJG

1 G

OD = OA + AD = −

(a + b )+ a =

− b ),

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

JJJJG

JJJG

1 G

DE = DA + AF

+ FE

= −a +

−

= −a +

JJJJG

1 G

1 G2

1 G

DE OD =

−a +

b +

a −

= −

−

c −

b c

= −

−

= −

2 8

JJJJG

1 G

−a

1 G

G G

− 2

a c

b c

4 2

= 1+

−

JJJJG

1 G

G 2

a −

Рис. 6.14

Подставляя полученные значе-

JJJJG

ния в формулу sin ϕ =

DE OD

, имеем:

JJJJG

sin ϕ =

2 =

Отсюда ϕ = arcsin

, где ϕ — искомый угол.

Ответ: arcsin 30 . 6

Задачи для самостоятельного решения

15.В единичном кубе A…D1 найдите угол между прямой A1B1 и плоскостью BDC1.

16.В правильной шестиугольной призме A…F1, ребра которой равны 1, найдите угол между прямой AB1 и плоскостью ACE1.

17.В правильной четырехугольной пирамиде MABCD, все ребра которой равны, точка E — середина ребра MC. Найдите синус угла между прямой DE и плоскостью AMB.

18.В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 4, найдите синус угла между прямой BC и плоскостью EMD.

Угол между плоскостями

Решениеданнойзадачисводяткзадачеонахожденииугламеждувекторами нормалей данных плоскостей или угла между направляющими

Лекция 6

векторамискрещивающихсяпрямыха иb,лежащихврассматриваемых плоскостях и перпендикулярных к их линии пересечения.

Использование векторов нормалей пересекающихся плоскостей

Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями p1x + q1y + r1z + d1 = 0 и p2x + q2y + r2z + d2 = 0 соответственно,

удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их
нормалей nG	= {p ; q ; r			}	и nG		= {p ; q ; r					}, используя формулу
α	1 1	1		G		G β	2			2	2
cos (α; β )=				n	n					p p		+ q q	+ r r
				α		β	=			1	2	1 2		1 2		.	(9)
			G			G
									2	2		2	2	2	2
									2	2		2	2	2	2
		nα				nβ		p1		+ q1	+ r1		p2	+ q2	+ r2

Прежде чем перейти к содержательным задачам, с учащимися необходимо рассмотреть простейшие задачи следующего вида: найти угол между плоскостями, заданными уравнениями

2x + 3y + 6z – 5 = 0 и 4x + 4y + 2z – 7 = 0.

Отметим, что не всегда составляют уравнения плоскостей для определения векторов нормалей к ним. Иногда исходя из свойств многогранника легко найти вектор нормали данной плоскости. Затем остается выразить этот вектор через базисные векторы или найти его координаты относительно введенной декартовой системы координат.

В общем случае вектор нормали находят из других соображений (см. начало раздела «Угол между прямой и плоскостью»).

Пример 13. В кубе A…D1 найти угол между плоскостями AB1C

и BC1D.

Решение. Пусть

JJJJJG

JJJJG

AD = a, AB = b, AA = c,

где

= 1,

= 0

a b = a c

= b

JJJJG

JJJJJG

(рис. 6.15). Векторы BD1

и CA1

являются векторами нормали

плоскостей AB1C и BC1D соответ-

ственно. Тогда

JJJJJG

JJJJG

= a

− b

+ c; CA

= −a − b

+ c;

Рис. 6.15

JJJJJG

JJJJG

G G

= 1;

= (a − b

+ c )(−a − b

+ c )= −a

+ b

+ c

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

JJJJJG

= {1; − 1; 1},

JJJJJG

= 1 + 1 + 1 = 3;

BD1

JJJJG

= {−1; − 1; 1},

JJJJG

= 1 + 1 + 1 = 3;

CA1

JJJJJG

JJJJG

cos ϕ =

BD1

CA1

JJJJJG

JJJJG

3 3

BD1

CA1

Откуда ϕ = arccos 1 , где ϕ — искомый угол.

Ответ: arccos 1 . 3 3

Пример 14. В правильной пирамиде MABCD (M — вершина) высота и сторона основания равны 4. Точка F — середина ребра MC. Плоскость α проходит через середину ребра AM перпендикулярно прямой BF. Найти угол между плоскостью α и плоскостью основания. JJJG Решение. Так как прямая BF B α, то ее направляющий вектор BF

является вектором нормали плоскости α. Пусть точка O — основание

JJJJG

высоты MO, следовательно, вектор OM является вектором нормали плоскости ABC.

Введем систему координат следующим образом: начало координат находится в точке O, ось x проходит через точку O параллельно ребру AD, ось y проходит через точку O параллельно ребру AB, ось z проходит через точку O перпендикулярно плоскости основания (рис. 6.16).

Найдем координаты точек:

O(0; 0; 0), B(–2; 2; 0), C(2; 2; 0), M(0; 0; 4), F(1; 1; 2), D(2; –2; 0).

Тогда

JJJG

= {3; − 1; 2},

JJJG

= 9 + 1

+ 4 =

14;

JJJJG

= 4.

OM = {0; 0; 4},

Получаем:

JJJG

JJJJG

cos (α; ABC) =

BF OM

JJJG

JJJJG

3 0 + (−1) 0 + 2 4

14 4

Ответ: arccos

Рис. 6.16

Лекция 6

Рис. 6.17

Пример15.ДанкубA…D1.Найдите угол между плоскостями MNP и AKD, где точка M — центр грани AA1B1B, N — середина ребра B1C1, точка K — серединаребраCC1,точкаPделитребро DD1 в отношении DP : PD1 = 1 : 2.

Решение. Введем систему координат: точка A — начало координат, оси Ax, Ay и Az направим вдоль ребер AD, AB и AA1 соответственно (рис. 6.17). Пусть ребро куба равно

1. Найдем координаты точек:

A(0; 0; 0), D(1; 0; 0), K(1; 1; 0,5),		1		1		1				1
	M 0;		;		,	N		; 1; 1 ,	P 1; 0;		.
		2		2			2			3

Найдем координаты векторов:

JJJJJG		1		1			1		JJJJG			1			1				JJJJG			JJJJG
MN	=		;		;			,	MP	= 1;	−		; −				,		AD =	{1; 0; 0},		AK	= {1; 1; 0,5}.
MN	=	2	;	2	;			,	MP	= 1;	−	2	; −		6		,		AD =	{1; 0; 0},		AK	= {1; 1; 0,5}.
		2		2			2					2			6					и nG , перпендикулярных
Теперь найдем координаты векторов nG																				и nG , перпендикулярных
																			1	2
плоскостям MNP и AKD соответственно.
Начнем с вектора nG = {p ; q ; r																			}. Его координаты найдем из
										1			1		1			1
условий равенства нулю скалярных произведений nG																							с векторами
JJJJJG		JJJJG																			1
MN и MP. Получаем систему:
G		JJJJJG				= 0,			0,5 p1		+ 0,5q1 + 0,5r1 = 0,										2		7
n1		MN				= 0,															2		7
G		JJJJG							p − 0,5q −					1		r = 0				p1 = −		r1, q1 = −			r1.
						=		0						1						p1 = −	9			9
						=															9			9
n MP										1		1					1
1														6
														6

Эта система имеет бесконечное множество решений, так как век-

торов, перпендикулярных плоскости MNP, бесконечно много.

Выберемизданногомножестваненулевойвектор nG

, положивr =9.

Тогда nG

= {−2; − 7; 9}.

= {p ; q ; r }, перпенди-

Найдем теперь координаты вектора nG

кулярного плоскости AKD. Его координаты найдем из условий ра-

венства нулю скалярных произведений nG

JJJJG

с векторами AD и AK.

Получаем систему:

JJJJG

p2 + 0 q2 + 0 r2 = 0,

= 0,

p2 = 0, q2 = –0,5r2.

JJJJG

p + q

+ 0,5r = 0

= 2. Тогда nG

Возьмем r

= {0; − 1; 2}.

Для нахождения угла между плоскостями MNP и AKD восполь-

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 105 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015198.21 Кб20Bukhuchet.docx
#
05.06.2015529.87 Кб4bukh_uchet.pdf
#
01.03.2025331.78 Кб2bussiness.doc
#
01.03.202590.62 Кб1BUX_BNKR_1.doc
#
24.04.2019183.3 Кб3C2.doc
#
05.06.20151.35 Mб40C2C4_1.pdf
#
06.08.2019333.82 Кб4C3.doc
#
05.06.20151.92 Mб21Camenzind_Analog design chips.pdf
#
01.05.202511.55 Mб1Camino Primitivo.docx
#
05.06.20156.9 Mб44cases1-all.pdf
#
18.08.20191.31 Mб10CC-1.doc