C2C4_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

cos D1PQ =

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

3. Правильная шестиугольная призма A…F1, сторона основания которой равна a, а боковое ребро b. Начало координат — в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая OO1 — ось z, где O1 — центр шестиугольника

A1B1C1D1E1F1.

4.Правильная треугольная пирамида MABC, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в точке A; прямая AC — ось x; прямая, проходящая через точку A в плоскости ABC перпендикулярно прямой AC, — ось y; прямая, проходящая через точку A перпендикулярно плоскости ABC, — ось z.

5.Правильная четырехугольная пирамида MABCD, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O квадрата ABCD; прямая, проходящая через точку O параллельно AD, — ось x; прямая OM — ось z.

6.Правильная шестиугольная пирамида MABCDEF, сторона основания которой равна a, а высота h. Начало координат — в центре O шестиугольника ABCDEF; прямая CF — ось x; прямая, проходящая через точку O в плоскости ABC перпендикулярно прямой CF, — ось y; прямая OM — ось z.

Другие группы опорных задач, связанных с отработкой навыков применения формул и составления уравнения плоскости, будут представлены ниже.

Векторный метод

Векторный метод не нашел распространения в школьной практике, хотя он может быть использован при решении широкого класса геометрических задач.

В частности, операция скалярного умножения двух векторов позволяет вычислять длины отрезков и величины углов. Если нужно найти длину отрезка, то в качестве базисных векторов выбирают векторы, для которых известны их длины и углы между ними. Если в задаче требуется найти величину угла между прямыми, то в качестве базисных выбирают векторы с известными отношениями их длин и

известными углами между ними.								G	G	G
		В общем случае для базисных векторов						G	G	G	таких, что
		В общем случае для базисных векторов						a,	b,	c	таких, что
	G		G	= b,	G	G G		G G			G G
	a		= a, b	= b,	c	= c и (a; b )= α,	(a; c )= β,				(b; c )= γ,

таблица скалярных произведений выглядит следующим образом (табл. 6.1):

Лекция 6

				Таблица 6.1
		Скалярные произведения
	некоторых базисных векторов
		aG	G		cG
			G
aG			b
aG		a2	ab cos α		ac cos β
G		ab cos α	b2		bc cos γ
b		ab cos α	b2		bc cos γ
cG		ac cos β	bc cos γ		c2

Решение задачи упрощается, если использовать прямоугольную декартовую систему координат, поэтому часто стараются использовать ортонормированные или ортогональные базисы.

Обычно при решении задач, в которых рассматриваются призма или пирамида, в качестве базисных векторов выбирают какую либо тройку векторов, выходящих из одной вершины и направленных вдоль ребер многогранника. Рассмотрим одну из подготовительных задач.

Пример 1. В параллелепипеде A...D1

точка M — центр грани

JJJJJG

JJJJG

CC1D1D. Найти разложение вектора B1M по векторам AA1,

AB,

JJJJG

и AD.

Решение. По правилу треугольника имеем:

JJJJJG

B M

= B C

+ C M

JJJJG

1 1

JJJJJG

(рис. 6.1). Так как

B1C1

= AD,

JJJJJG

JJJJG

JJJJJG

JJJJG

а C M =

(C D + C C ) и C D = − AB,

JJJJG

JJJJJG

C1C

= − AA1, то получим:

Рис. 6.1

JJJJJG

JJJJG

C M = −

(AA

+ AB).

JJJJJG

1 JJJJJG

1 JJJJG

JJJJG

Следовательно, B1M

= −

AA1 −

AB + AD.

JJJJJG

1 JJJJJG

1 JJJJG

JJJJG

Ответ: B1M

= −

AA1

−

AB + AD.

Задачи для самостоятельного решения

1. В основании четырехугольной пирамиды MABCD лежит

параллелограмм ABCD. Точки N и P — середины ребер BM и DC

JJJJG JJJJG

соответственно. Найдите разложение вектора NP по векторам AD,

JJJJG JJJJJG

AB и AM.

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

	2. Дан параллелепипед A…D1. Точки M, N, P — центры гра-
ней A B C D ,										G JJJJJG
						CC D D, BB C C соответственно. Пусть a = AM,
G	JJJJG	1	G	1	JJJJG	1	1	1	1	JJJJG
	1				1

b = AN, c = AP. Найдите разложение вектора AC1 по векторам aG, bG, cG.

Расстояние от точки до прямой

Как было сказано в предыдущей лекции, задача о вычислении расстояния от точки до прямой сводится к нахождению высоты некоторого треугольника. Поэтому необходимо напомнить учащимся некоторые формулы.

Расстояние между точками A и B можно вычислить по формулам:

в общем случае
	JJJJG	=	JJJJG JJJJG	(1)
	AB	=	AB AB,	(1)
в декартовой прямоугольной системе координат
	JJJJG	=	p2 + q2 + r2 ,	(2)
	AB	=	p2 + q2 + r2 ,	(2)
			JJJJG
			JJJJG
где {p; q; r} — координаты вектора AB;
ρ(A; B) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 + (z2 − x1 )2 ,				(3)

где A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2).

Координатный метод

Пример 2. В единичном кубе A…D1 найти расстояние от точки D1 до прямой РQ, где P и Q — середины соответственно ребер

A1B1 и ВС.

Решение. Рассмотрим прямоугольную систему координат с началом в

точке A (рис. 6.2). Найдем координаты
точек:				1				1
точек:
														D1(1; 0; 1).
P	0;					; 1 , Q						; 1; 0 ,
P	0;			2		; 1 , Q						; 1; 0 ,
				2				2
Тогда
PQ =		1	+			1	+1 =		3	, D Q =						1		+1+1 =	3	,
		1				1			3							1			3

	4				4			2			1			4					2
	4				4			2						4					2
												1			5						Рис. 6.2
						D P = 1+						1	+ 0 =		5		.
						D P = 1+							+ 0 =				.
					1						4			4
											4			4

Лекция 6

Из треугольника D1PQ, используя формулу косинусов, находим:

Значение cos F D1PQ > 0, значит, угол D1PQ острый. Далее получаем:

Пусть D1N B PQ, где N PQ. Тогда
D1N = D1Pæsin F D1PQ,
D N =	5	29	=		174	=	174	.

1	4	30		144			12

Ответ: 174 . 12

Векторный метод

Рассмотрим векторный подход к решению задач данного вида.

Пусть дана прямая l с направляющим вектором qG, точка A лежит

JJJJG

на прямой l, точка M — вне прямой l, MA = m (рис. 6.3).

Чтобы найти расстояние от точки M

до прямой l, то есть длину перпендику-

JJJJG

ляра MP (P l), представим вектор MP

JJJJG

в виде MP

= MA + AP

= m + x

Неизвестный коэффициент x на-

ходят из условия перпендикулярности

JJJJG

Рис. 6.3

вектора MP вектору qG:

JJJJG

= 0.

q = 0

(m + x q ) q

Искомое расстояние выражается следующим образом:

JJJJG

= (m + x q ) .

Пример 3. В треугольной пирамиде ABCD при вершине D все пло-

ские углы равны π , AD = 2, BD = 4, CD = 3. Точки P, M и K являются

серединами ребер AD, BD и BC соответственно. Найти расстояние от

точки M до прямой PK.

JJJJG G JJJJG G JJJG G

Решение. Пусть DA = a, DB = b, DC = c (рис. 6.4). Тогда имеем

таблицу умножения координатных векторов (табл. 6.2):

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

Таблица 6.2

Произведение координат векторов

Если MH B PK, где H PK, то в силу

JJJJG

коллинеарности векторов PH и PK по-

JJJJG

Рис. 6.4

JJJJG

лучаем: PH = x

PK. Выразим вектор PK через базисные векторы

используя правило многоугольника:

b и c,

JJJJG

JJJG

JJJJJG

1 G

= PD + DM + MK

= −

a +

JJJJG

JJJJJG

значит, PH

x (−aG+ b

+ cG). Теперь выразим вектор MH :

JJJJJG

JJJJG

JJJG

JJJJJG

JJJJG

1 G

G G

JJJJG

= MP + PH

= DP

− DM

+ PH

−

x (−a + b

+ c ).

JJJJG

JJJJJG

Из условия перпендикулярности векторов MH

PK имеем:

JJJJJG

JJJJG

MH PK = 0, или ((1 − x)a + (x − 1)b

+ xc )(−a

+ b

+ c )= 0.

Используя таблицу умножения базисных векторов, получаем

уравнение

(1 – x)(–4 + 4 + 3 + 4 – 16 – 6) + x(–3 + 6 + 9) = 0,

откуда x =

. Тогда

JJJJJG

1 G

2 G

5 G

MH =

−

(−a

+ b

+ c )=

a −

c =

(4a

− 4b

+ 5c ).

2 9

Отсюда

JJJJG

(4a − 4b

5c )

16 4 + 16 16 + 25 9 − 32 4 + 40 3 − 40 6

297

324

Ответ: 11. 12

Задачи для самостоятельного решения

3. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, сторона основания равна 2. Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.

Лекция 6

4.В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны, найдите расстояние от точки A до прямой CB1.

5.В правильной шестиугольной пирамиде MABCDEF, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки F до прямой BT, где T — середина ребра MC.

Расстояние от точки до плоскости

Как известно из предыдущей лекции, решение данной задачи позволяет решать задачи о нахождении расстояния между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, между скрещивающимися прямыми. Поэтому необходимо подробнее остановиться на отработке учащимися навыков решения задач о нахождении расстояния от точки до плоскости.

Координатный метод

Пусть дана точка M(x0; y0; z0) и плоскость α, заданная уравнением

ax + by + cz + d = 0 в прямоугольной декартовой системе координат.
	Расстояние от точки M до плоскости α можно вычислить по фор-

	муле	ax0	+ by0 + cz0 + d
	ρ(M; α) =	ax0	+ by0 + cz0 + d	.	(4)


			a2 + b2 + c2

В данном разделе система подготовительных упражнений должна быть направлена на применение формулы (4) для данных точки и плоскости.

1.Найдите расстояние от точки M(–3; 1; 2) до плоскости, заданной уравнением 3x + 4y – 12z + 2 = 0.

2.Вычислите расстояние от начала координат до плоскости, заданной уравнением 2x + 3y – 6z + 14 = 0.

3.Вычислите расстояние между параллельными плоскостями, заданными уравнениями 3x + 2y + 4z + 11 = 0 и 9x + 6y + 12z – 5 = 0.

Указание. Для этого достаточно выбрать точку первой плоскости,

		11
например M 0; 0;	−		.
например M 0; 0;	−	4	.
		4

4. Докажите, что в общем случае расстояние между параллельными плоскостями α и β:

ax + by + cz + d1 = 0 и ax + by + cz + d2 = 0,


вычисляется по формуле		d1		− d2
ρ(α; β) =		d1		− d2	.
ρ(α; β) =	a2		+ b2 + c2		.
	a2		+ b2 + c2

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

Указание. Используйте алгоритм решения задачи 3.

Следующая система упражнений направлена на составление уравнения плоскости, проходящей через три точки. Приведем один из способов получения уравнения плоскости, если известны

координаты трех ее точек: M(xM; yM; zM), N(xN; yN; zN), P(xP; yP; zP), не лежащих на одной прямой. Для этого нужно взять в общем виде

уравнение плоскости ax + by + cz + d = 0, в котором a, b, c, d — неизвестные числа. Подставив в него координаты точек M, N, P, получим систему уравнений

axM + byM + czM + d = 0,
	+ byN + czN + d = 0,
axN
	+ byP + czP + d = 0.
axP

Решив ее, найдем a = pd, b = qd, c = rd (если окажется, что d = 0, то a = pc, b = qc; если d = c = 0, то a = pb). Подставив в исходное уравнение и сократив на d ≠ 0, получим уравнение

px + qy + rz + 1 = 0.

Иногда удобно использовать уравнение плоскости в отрезках:

x + y + z = 1, a b c

если известны координаты точек (a; 0; 0), (0; b; 0), (0; 0; c) пересечения данной плоскости с координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно.

Пример 4. Напишите уравнение плоскости, проходящей через три точки, M(0; 1; 0), N(1; 0; 0), P(1; 1; 1).

Решение. Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + + cz + d = 0 и подставив в него координаты этих точек, получим:

		+ d = 0	(для точки M),
a 0 + b 1 + c 0
a 1	+ b 0 + c 0	+ d = 0	(для точки N),
	+ b 1 + c 1 + d = 0 (для точки P).
a 1

Отсюда b = –d, a = –d и c = d. Уравнение плоскости MNP имеет вид

–dx – dy + dz + d = 0, или x + y – z – 1 = 0 после сокращения на –d ≠ 0. Пример 5. В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки A до плоскости DEF1. Решение. Введем систему координат, как показано на рисун-

ке 6.5, и найдем координаты точек:

	1	; −	3			−	1		3			1		3			(1; 0; 1).
A				; 0 ,	D			;		; 0 ,	E		;		; 0 , F
A	2		2	; 0 ,	D		2	;	2	; 0 ,	E	2	;	2	; 0 , F
	2		2				2		2			2		2		1
																1

Лекция 6

Пусть ax + by + cz + d = 0 — урав-

нение плоскости DEF1. Подставляя

в него координаты точек D, E, F1,

получим:

−

b + d = 0 (для точки D),

a +

b + d = 0 (для точки E),

+ c + d = 0 (для точки F1).

Отсюда имеем:

a = 0, b = −

2 3

d, c = –d.

Рис. 6.5

Уравнение плоскости DEF1 при-

мет вид 2 3y + 3z − 3 = 0. Вычислим расстояние от точки A до плоскости DEF1 по формуле (4):

− 2 3

+ 3 0 − 3

ρ (A; DEF )=

02 + (2 3 )2 + 32

Ответ:

2 21

Векторный метод

Пусть дана плоскость α, содержащая два неколлинеарных вектора

и qG

, точка A принадлежит плоскости α, точка M вне плоскости α,

JJJJG

(рис. 6.6).

MA = m

Чтобы найти расстояние от точки

M до плоскости α, то есть длину пер-

пендикуляра MP (P α), представим

JJJJG

вектор MP в виде

JJJJG

JJJJG JJJJG

= MA + AP

= m + x

q1 + y q2.

Неизвестные коэффициенты x, y

находятся из условия перпендикуляр-

JJJJG

и qG2 :

Рис. 6.6

ности вектора MP векторам qG1

Использование координатного и векторного методов для решения задач С2

JJJJG	G	= 0,	G	G	G	G	= 0,
MP	q	= 0,	(m + x q		+ y q	) q	= 0,
JJJJG	G1	= 0	G	G1	G2	G1	= 0.
MP	q	= 0	(m + x q		+ y q	) q	= 0.
	2			1	2	2

Искомое расстояние выражается следующим образом:

JJJJG	G G	G 2

MP	= (m + x q1	+ y q2 ) .

Пример 6. В кубе A…D1 найдите расстояние от точки A1 до пло-

скости BDC1.

JJJJG

Решение.Пусть AD

= a, AB

= b,

JJJJJG

= c

= 1,

G G

= 0 (рис. 6.7).

a b = a c = b

Выразим некоторые векторы

JJJJG

черезвекторы a,

b, c

: DB = b

− a,

JJJJG

JJJJJG

= b

+ c, C A

= −a − b.

Пусть

M A 1

B B D C 1 ,

где

JJJJJG

M B D C . В е к т о р C M

JJJJG

+ y

JJJJG

= x DB

DC1

, поэтому

JJJJJG

JJJJG

Рис. 6.7

JJJJJG

JJJJG

MA1 = C1 A1 − C1M = C1 A1

− (x DB + y

DC1 ).

Далее имеем: JJJJJG

JJJJG

JJJJJG

JJJJG

DB,

DB = 0,

JJJJJG1

JJJJG

JJJJJG1

JJJJG

= 0

JJJJJG

JJJJG

JJJJG2

+ y

JJJJG

C A

− (x DB

DB)= 0,

JJJJJG

JJJJG

JJJJG2

)= 0.

C A

− (x DB DC + y DC

Так как

JJJJJG

JJJJG

G G

= 0,

C A

DB = (−a

− b )(b

− a )= a

− b

JJJJG

= 1,

= (b

+ c )(b

− a )= b

JJJJJG

JJJJG

= −1,

C A

= (−a − b )(b

+ c )= −b

JJJJG2

G 2

= 2,

= (b

− a ) = b

+ a

JJJJG2

G 2

= 2,

= (b

+ c ) = b

+ c

Лекция 6

то имеем:																										1
																										1
0 − (x 2 + y 1) = 0,								2x + y = 0,															x =					,
0 − (x 2 + y 1) = 0,								2x + y = 0,															x =			3		,
																										3			2
−1 − (x 1 + y				2) =		0		x + 2y									= −1												2	.
																							y = −					3		.
																												3
Отсюда получаем:
JJJJJG		G	G	1	G		G	2				G		G						2	G		2 G		2			G
MA		= −a	− b −		(b	− a )+					(b + c )= −										a −			b +			c.
MA		= −a	− b −		(b	− a )+					(b + c )= −										a −			b +			c.
JJJJJG	1			3				3												3			3		3
Вектор MA1		в данном базисе (прямоугольная декартова система
										2					2			2
координат) имеет координаты −												; −					;			, поэтому длину этого
координат) имеет координаты −										3		; −			3		;	3		, поэтому длину этого
										3					3			3
вектора можно найти по формуле												JJJJJG						=			p2 + q2 + r2 , то есть
вектора можно найти по формуле												MA						=			p2 + q2 + r2 , то есть
															1
				JJJJJG			=	4	+				4	+		4	=		2 3			.
				MA				4					4			4			2 3
				MA
					1			9				9			9					3
								9				9			9					3

Ответ: 2 3 . 3

Задачи для самостоятельного решения

6.В единичном кубе A…D1 найдите расстояние от точки A до плоскости BDA1.

7.В правильной шестиугольной призме A…F1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки A до плоскости BFE1.

8.Известно, что в треугольной пирамиде все плоские углы при вершине — прямые. Найдите длину ее высоты, если длины ее боковых ребер равны a, b и c.

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Задачу данного вида можно свести к задаче о вычислении расстояния от точки до плоскости, поэтому можно применить формулу расстояния от точки до плоскости, применяя координатный метод.

Координатный метод

Пример 7. В единичном кубе A…D1 найти расстояние между прямыми AB1 и BD.

Решение. Так как DC1 C AB1, то BDC1 C AB1. Поэтому расстояние

ρ(AB1; BD) = ρ(AB1; BDC1) = ρ(A; BDC1).

Введем систему координат, как показано на рисунке 6.8, и определим координаты точек: A(0; 0; 0), B(0; 1; 0), D(1; 0; 0), C1(1; 1; 1;).

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 104 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015198.21 Кб19Bukhuchet.docx
#
05.06.2015529.87 Кб4bukh_uchet.pdf
#
01.03.2025331.78 Кб2bussiness.doc
#
01.03.202590.62 Кб1BUX_BNKR_1.doc
#
24.04.2019183.3 Кб3C2.doc
#
05.06.20151.35 Mб40C2C4_1.pdf
#
06.08.2019333.82 Кб4C3.doc
#
05.06.20151.92 Mб19Camenzind_Analog design chips.pdf
#
01.05.202511.55 Mб1Camino Primitivo.docx
#
05.06.20156.9 Mб44cases1-all.pdf
#
18.08.20191.31 Mб10CC-1.doc