26) ДПФ, его основные свойства

Дискретное преобразование Фурье (ДПФ)

−1

− прямое

( ) = ( )

( ) =

=0

1

−1

( ) − − обратное

Причем:

=0

= −2

, = √−1;

— ядро преобразования.

= cos − sin

ДПФ

Свойства ДПФ:

ДПФ

ДПФ

ОДПФ

1.

( ) ↔ ( )

Линейность

↔

( )

+ ( )

( )

+ ( )

( ) = ( + ,), где

2.

( ) = ( + )

Периодичность

3.

( )

=

( − )

Симметричность

(только если все

— действительные числа)

(2 + 3 )

= 2 − 3

)—

комплексно-сопряженное с

число

(например,

0)

, где

(0)

, где

(0)

= ( −

= ( ) = (0)

=

2 ,

( /2) =

( − /2)

=

( /2)

( /2)

−1

1

−1

4.

| ( )|2 =

| ( )|2

Теорема Парсеваля

5.

Сдвиг=0

=0

— сдвиг по частоте

б)

( + ) ( )

а)

( + ) Обратное ДПФ ( ) −

ДПФ

— сдвиг по времени

Алгоритм БПФ с прореживанием по времени

Применимо только для = 2 , где .

( ) = ( )

+

( ) =

=2

=2 +1

= 2 —

— нечетные

= 2 + 1

четные

Описание алгоритма

1.

Разбиваем исходную ДПФ длиной

на две последовательности (длиной

2.

каждая).

2

Далее каждую из полученных ДПФ разбиваем аналогичным образом и получаем 4

последовательности длиной .

3.

И т.д. до тех пор, пока каждая4из последовательностей не будет состоять всего

лишь из одного элемента.

число операций) уменьшается с 2 до

.

= 2 1

3 2

5 3 …

Существуют алгоритмы для чисел,

представимых в виде

log

(0, −1)

(1, −1)

( −1, −1)

Двумерный сигнал выглядит следующим образом:

{ ( , )} =

(0,1)

(1,1)

( −1,1)

(0,0)

(1,0)

( −1,0)

Двумерное ДПФ

Пусть

Тогда: ( , ) – двумерный сигнал.

−1 −1

(1)

( , ) = ( , )

( , ) =

1

=0

=0

−1 −1

(2)

,

( , ) − −

= 0, −1

=0

=0

,

= 0,

2−

1

(3)

=

2

(4)

=

−

−

(1) – прямое двумерное ДПФ

(2) – обратное двумерное ДПФ

Примечание:

Заметим, что в формулах (1) и (2)

переменная, принимающая целочисленные

значения, в то время как в формулах–

(3) и (4) = √−1 – это мнимая единица.

=

Положительное

Двумерное ДПХ

1

направление

2

-1

1

=

1

= 1

1

1

1

3 =

1

√3 −1 −√3 − 1

2

2

1

−√3 −1

√3 −1

1

2

1

2

1

1

1

1

−1

−1

4 = 1 −1 1 −1

Пример:

1

−1

−1

1

Примечание:

Матрица

обозначается буквой

в честь Р. Брейсуэлла.

{ ( )} = [1; 2; 6; 3]

1

1 + 2 + 6 + 3

12

1 1 1 1

1 1 −1 −1

2

1 + 2 −6 −3

−6

1 −1 1 −1 6 = 1 −2 + 6 −3 = 2

1 −1 −1 1

3

1 −2 −6 + 3

−4

{ ( )} = [12; −6; 2; −4 ]

Для ДПФ:

+ =

2

+

2

sin( + )

( )

( − )

Для ДПХ:

коэффициентов

Гармоника определяется любым из

и

,

.

+ = √2 sin + = √2 cos −

Гармоника определяется двумя коэффициентами4 ( ) и

( − ),4 .