num-meth

4.5. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнен

системы алгебраических уравнений, задаваемой равенством (4.182). Во втором варианте имеем аналогично

α0y(x0) + α1 −3y(x0) + 4y(x1) − y(x2) + O(h2) = A, 2h

β0y(xn) + β1 y(xn−2) − 4y(xn−1) + 3y(xn) + O(h2) = B, 2h

откуда следуют дополнительные к (4.182) связи между тремя первыми неизвестными

Сравним теперь два рассматриваемых варианта. В первом из них СЛАУ, образованная уравнением (4.183), (4.182), (4.184), имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов, и к ней сразу можно применить высокоэффективный метод прогонки. Во втором случае соответствующая методу прогонки структура матрицы коэффициентов СЛАУ еще должна быть создана, для чего нужно из уравнения (4.185) с помощью уравнения, получающегося из (4.182) при i = 1, исключить неизвестное y2, из (4.186) с помощью (4.182) при i = n − 1 исключить yn−2. Усложнения, сопутствующие второму варианту, могут быть оправданы тем, что в этом случае исходная дифференциальная краевая задача полностью апроксимируется алгебраической системой относительно компонент каркаса решения с точностью O(h2), в то время как о первом варианте такого сказать нельзя (если речь не идет о первой краевой задаче, т.е. о случае α1 = β1 = 0, когда в апроксимации краевых условий вообще нет нужды).

Остановимся теперь на вопросе устойчивости построенной конечноразностной схемы решения краевой задачи (4.155)-(4.157). Эту устойчивость можно связать с устойчивостью метода прогонки, что, в свою очередь, можно гарантировать, когда матрица коэффициентов имеет доминирующую диагональ. Посмотрим с этой точки зрения на i-е "внутреннее"уравнение системы, т.е. на уравнение (4.182).

Условие диагонального преобладания для (4.182) означает, что должно выполняться

из требований апроксимации) меньше 2. Отсюда получаем ограничение

|hpi| ≤ 2,

означающее, что устойчивость прогонки можно гарантировать при условии, что шаг дискретизации h удовлетворяет неравенству

142 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Усиливая это неравенство и используя сформулированное в конце утверждение "Апроксимация плюс устойчивость дает сходимость приходим к заключению, что если в дифференциальном уравнении (4.155)

то МКР сходится (по крайней мере, к решению первой краевой задачи, т.е. когда в (4.156), (4.157) α1 = β1 = 0; в других случаях требуется более детальный анализ).

Наличие ограничения на шаг h в методе конечных разностей второго порядка (4.182) характеризует его как условно устойчивый метод. Если отказаться от апроксимации всех производных с порядком O(h2) и использовать в роли y′(xi) правые или левые разностные отношения первого порядка точности, связывая их выбор со знаком pi, а именно,

При условии (4.188) диагональное преобладание в методе (4.189) будет при любой величине шага h > 0. Отсюда следует его безусловная устойчивость, правда, в ущерб точности; последнее означает необходимость проведения вычислений с более мелким шагом для доведения погрешности решения до некотрой фиксированной малой величины, чем это требует метод второго порядка (4.182), если они оба одновременно применимы. Конечноразностный метод (4.189) широко используется при решении задач динамики жидкости и газов и называется upwind-, или противопотоковым методом.

4.5.4Метод коллокации

Будем искать приближенное решение линейной краевой задачи (4.155)-(4.157) в виде функции

i=1

где определяемые на отрезке a, b базисные функции ϕi(x) (i = 1, 2, . . . , n − 1) и дополнительная функция ϕ0(x) должна быть дважды дифференцируемыми и попарно линейно независимыми. Кроме того, функция ϕ0(x) должна удовлетворять данным краевым условиям (4.156), (4.157), а функции ϕi(x) при (i = 1, 2, . . . , n − 1)—соответствующим однородным краевым условиям, т.е. должны выполняться равенства

}

β0ϕi(b) + β1ϕ′i(b) = 0

4.5.Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнен

Втаком случае функция yn(x), определяемая выражением (4.190), при любых значе-

ниях коэффициентов ci гарантированно удовлетворяет краевым условиям (4.156), (4.157). Например, в точке x = a имеем

аналогично при x = b с помощью (4.157), (4.190) и (4.191) проверяется справедливость равенства

β0yn(b) + β1yn′ (b) = B.

Представление приближенного решения yn(x), подобное (4.190), характерно для многих приближенно-аналитических методов решения краевых задач (возможны вариации требований к базисным функциям); главное их различие состоит в том, на какой основе ищутся коэффициенты ci в линейной комбинации базисных функций ϕi(x) выражения (4.190).

В методе коллокации коэффициенты ci в представлении (4.190) приближенного решения yn(x) подбираются так, чтобы в узлах коллокации xi таких, что

a < x1 < x2 < · · · < xn < b

(не обязательно равноотстоящих, но строго внутренних точках отрезка [a, b]), значения yn(xi) приближенного решения были согласованы с точными значениями y(xi).

Поскольку точное решение y(x) задачи (4.155)-(4.157) неизвестно согласование yn(x) и y(x) в узлах коллокации xi проводим подстановкой yn(x) в уравнение (4.155). Имеем

котрое, в силу выставляемого требования согласования yn(xi) с y(xi), считаем точным при каждом i {1, 2, . . . , n}. Продифференцировав дважды функцию yn(x) в представлении (4.190), от равенства (4.192) переходим к равенству

где pi, qi, fi соответствует обозначениям (4.178) сеточных функций. Положим

Тогда (4.193) приобретает стандартный вид линейной алгебраической системы

∑n

j=1

относительно коэффициентов c1, c2, . . . , cn. Решив эту систему каким-нибудь стандартным методом и подставив найденные коэффициенты ci в выражение (4.190), получаем приближенное решение yn(x).

144 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Успех применения метода коллокации к задаче (4.155)-(4.157), впрочем, как и других приближенно-аналитических методов, сильно зависит от удачного выбора базисных функций ϕi(x) в представлении приближенного решения (4.190). В конкретных задачах выбор таких функций, по возможности, должен опираться на априорные или эмпирические сведения о решении. В отсутствие таковых, т.е. в рассматриваемом абстрактном случае, для смешанной краевой задачи (4.155)-(4.157) можно предложить, например, следующий набор базисных функций.

В качестве ϕ0 возьмем линейную функцию

коэффициенты которой подберем так, чтобы она удовлетворяла неоднородным краевым условиям (4.156), (4.157), т.е. из линейной алгебраической системы

в самом общем случае. Очевидно, что при любых γi эти функции удовлетворяют первому из требуемых равенств (4.191) (если α1 ≠ 0, то первому из равенств (4.191) не удовлетворяет одна функция семейства (4.199), а именно ϕ1(x)), а если зафиксировать

в (4.200), то они будут подчиняться и второму из этих равенств. Следовательно, можно рассчитывать, что с такими базисными функциями при найденных методом коллокации (или каким-либо другим методом) коэффициентах ci определенная посредством (4.190) функция yn(x) будет удовлетворять краевым условиям и может служить приближенным решением данной краевой задачи (4.155)-(4.157).

Проблема формального выбора базисных функций ϕi значительно упрощается в случае, когда в задаче (4.155)-(4.157) фигурируют однородные краевые условия первого рода, т.е. когда

В такой ситуации в выражении (4.190) не нужна функция ϕ0, а в роли ϕI (i = 1, 2, . . . , n) могут выступать, например, функции

ϕi(x) = (x − a)i(b − x)

или

i(x − a) ϕi(x) = sin b − a π.

4.5. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнен

К этому случаю, т.е. к условиям (4.203), легко свести более общий случай неоднородных краевых условий первого рода

С этой целью достаточно сделать линейную замену (линейный сдвиг)

Дважды дифференцируем эту функцию y и подставляя результаты в уравнение (4.155), от задачи (4.155), (4.204) приходим к краевой задаче с однородными краевыми условиями относительно новой переменной u:

u(a) = 0, u(b) = 0.

Замечание. Нет принципиальных препятствий к привлечению метода коллокации для приближенного решения нелинейных краевых задач. Трудности на этом пути ожидают при подборе базисных функций ϕi, удовлетворяющих краевым условиям (4.154) в случае их нелинейности, и в необходимости решать нелинейные системы при отыскании коэффициентов ci того же представления (4.190) приближенного решения. Например, если данное дифференциальное уравнение имеет вид

y′′ = f(x, y, y′),

то коэффициенты c1, c2, . . . , cn в представлении yn(x) вида (4.190) должны находиться из системы

где i = 1, 2, . . . , n, а c0 := 1 (или c0 := 0, если это дифференциальное уравнение сопровождается краевыми условиями первого рода).

4.5.5Метод Галеркина

Чтобы лучше понять основную идею проекционных методов,, наиболее ярким представителем которых является метод Галеркина, ненадолго отвлечемся от рассматриваемой краевой задачи и сделаем небольшой экскурс в функциональный анализ.

Пусть L—некоторый линейный оператор, действующий в гильбертовом пространстве H, т.е. в полном нормированном пространстве со скалярным произведением (·, ·). Стоит задача приближенного решения операторного уравнения

т.е. задача отыскания некоторого приближенного к неизвестному элементу y H, соответствующему заданному элементу f H. Пусть, далее, {ϕi}∞i=1—некоторая полная замкнутая система линейно независимых элементов из H. Ее n первых элементов ϕ1, . . . , ϕn

146 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

выделяют в H конечномерное подпространство Hn, в котором и ищется приближенное

решение уравнения (4.205):

∑n

i=1

Пусть элемент Lyn принадлежит тому же подпространству Hn. Тогда к тривиальному равенству

f = Lyn + (f − Lyn)

можно применить одну из центральных теорем теории гильбертовых пространств, согласно которой любой элемент гильбертова пространства может быть представлен в виде суммы определенного элемента подпространства (проекции данного элемента на подпространство) и определенного элемента пространства, ортогонального к выбранному подпространству (реализующего расстояние от исходного элемента до его проекции).

Принадлежность элемента f −Lyn ортогональному к Hn подпространству Hn означает, что он ортогонален каждому элементу ϕi, входящему в базис пространства Hn. Таким образом, при любом i = 1, 2, . . . , n имеем:

(f − Lyn) ϕi (f − Lyn, ϕi) = 0 (Lyn, ϕi) = (f, ϕi).

Подставляя сюда выражение yn (4.206) и пользуясь простейшими свойствами скалярного произведения, получаем:

j=1

∑n

(Lϕj, ϕi)cj = (f, ϕi).

j=1

Итак, в методе Галеркина приближенное решение операторного уравнения (4.205) сводится к нахождению коэффициентов c1, . . . , cn линейной комбинации некоторых задаваемых определенным образом линейно независимых элементов ϕ1, . . . , ϕn (называемых

базисными или координатными элементами так, чтобы эти коэффициенты удовлетворяли линейной системе)

Вернемся к краевой задаче (4.155)-(4.157). Естественным для ее рассмотрения пространством является гильбертово пространство L2[a, b] функций, интегрируемых на отрезке [a, b] с квадратом.

Скалярное произведение здесь определяется равенством

∫b

(u, v) = u(x)v(x)dx. (4.210)

a

Будем искать приближенное решение задачи (4.155)-(4.157) в виде задаваемой формулой (4.190) функции yn(x), такой, чтобы она удовлетворяла данным краевым условиям, если

la[ϕ0] = A, lb[ϕ0] = B,

148 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Выполненное преобразование интеграла, во-первых, активизировало роль краевых условий при построении приближенного решения yn(x) в форме (4.190) (функции ϕi(x) при i = 1, 2, . . . , n должны удовлетворять однородным краевым условиям (4.191)), во-вторых, позволило ослабить требования к гладкости базисных функций ϕi(x), поскольку теперь, как видно из (4.212), у них могут быть даже разрывы производных (скачки). Подмеченный факт говорит о том, что методом Галеркина при подходящем выборе базисных функций можно находить решения краевых задач, определенные в каком-либо обобщенном смысле.

Замечание. Возможно, чаще в литературе, освещающей метод Галеркина для обыкновенных дифференциальных уравнений, исходное линейное уравнение второго порядка берут не в принятом здесь за основу виде (4.155), а виде

имеющим прямую физическую интерпретацию и называемом в связи с этим одномерным стационарным уравнением теплопроводности или одномерным уравнением диффузии. При такой записи уравнения несколько упрощается выражение для подсчета коэффициентов aij системы (4.208) и, главное, становится более естественным анализ ситуации, когда коэффициенты в (4.213) могут оказаться разрывными.

Замечание. К той же системе (4.208) с коэффициентами (4.209) приходят и в методе Ритца, опирающемся на вариационный принцип приближенного решения краевой задачи (4.155)-(4.157).

4.5.6Метод конечных элементов

При всех достоинствах метода Галеркина, рассмотренный в предыдущем параграфе, обладает тем существенным на современном этапе формализации прикладных исследований недостатков, что в "чистом"виде он малопригоден для автоматизированных компьютерных вычислений. Однако при подходящем выборе системы простых базисных функций ϕi в представлении приближенного решения yn(x), связанных с определенной на отрезке [a, b] системой точек (сеткой), метод Галеркина трансформируется в сугубо численный процесс получения каркаса приближенного решения на заданной сетке, причем технология построения этого каркаса в конечном итоге оказывается близкой к той, которая присуща методу конечных разностей. Отсюда—название такого численного процесса проекционно-разностный или проекционно-сеточный метод. Другое его более раннее и более употребительное название метод конечных элементов (МКЭ) связано с другими идеями, корни которых следует искать в строительной механике и теории упругости. Преимущества этого метода перед многими другими методами обнаруживается, в основном, при решении двумерных и трехмерных задач математической физики, однако первые представления о МКЭ кажется целесообразным получить именно здесь, развивая метод Галеркина для краевой задачи (4.155)-(4.157).

Введем на отрезке [a, b] равномерную сетку с шагом h = nb −+ a1, состоящую из n внут-

ренних точек (узлов) xi = a + ih (i = 1, 2, . . . , n) и двух крайних—x0 = a, xn+1 = b. Будем искать приближенное решение yn(x) данной краевой задачи (4.155)-(4.157) в

виде линейной комбинации простых однотипных функций yi(x), на роль котрых возьмем