num-meth

Теперь сформулируем определение устойчивости метода, ориентированное на применение к жестким задачам.

Определение 4.4.8. Разностный метод (4.141) называется А-устойчивым, если его область устойчивости содержит левую полуплоскость комплексной плоскости, определяемой переменной µ = ph.

Обращаясь к простейшим разностным схемам, сразу отметим, что об A-устойчивости явного метода Эйлера (4.109) не может быть и речи. Действительно, согласно проведенным исследованиям, для невозрастания ошибки этого метода требуется выполнение неравенства (см. (4.134))

|µ + 1| ≤ 1,

что реализуется в круге радиуса 1 с центром в точке (−1; 0) ком-плексной плоскости с осями Ou и Oν, где

u = Reµ = Re(ph), ν = Imµ = Im(ph)

Этим неравенством задается его область устойчивости, составляющая лишь малую часть левой полуплоскости плоскости Ouν.

Устойчивость неявного метода Эйлера (4.110), в соответствии с неравенством (4.135), связана с выполнением неравенства

|µ − 1| ≥ 1,

которое определяет на комплексной плоскости Ouν внешность такого же круга, но круг этот расположен в правой полуплоскости. Область устойчивости неявного метода Эйлера целиком содержит левую полуплоскость; следовательно, неявный метод Эйлера А-устойчив.

Рассмотрим на предмет А-устойчивости метод трапеций (7.15)(он же - метод АдамсаМоултона второго порядка(8.19)). На модельном уравнении (4.129) его расчетная формула имеет вид

Те или другие источники получения разностной схемы (4.145) позволяют считать, что подстановка в нее точного значения y(xi) вместо yi сопровождается ошибкой O(h3), т.е. имеет место равенство

y(xi+1) = y(xi) + ph2 [y(xi) + y(xi+1)] + O(h3).

Вычитая равенство (4.145) из последнего равенства, приходим к следующему двухточечному разностному уравнению первого порядка относительно ошибки δi = y(xi) − yi:

Отсюда видим, что невозрастание ошибки δi гарантируется при выполнении неравенства

2 + ph

≤ 1.

2 − ph

132 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Полагая здесь µ = ph = u + iν, µ ≠ 2, имеем:

√√

|2 + u + iν| ≤ |2 − u − iν| (2 + u)2 + ν2 ≤ (2 − u)2 + ν2

u ≤ 0 Reµ ≤ 0.

Таким образом, область устойчивости метода трапеций точно совпадает с левой полуплоскостью комплексной плоскости чисел µ = ph; следовательно, метод трапеций А- устойчив.

Докажем еще А-устойчивость неявного двухшагового раз-ностного метода второго порядка (4.113).

Аналогично предыдущему, легко получаем разностное уравнение для ошибки каркаса решения модельного уравнения (4.129). Оно имеет вид

(3 − 2ph)δi+1 − 4δi + δi−1 + O(h3) = 0.

непосредственное оценивание которых, точнее, построение области, содержащей только те точки, при которых |λ1,2| ≤ 1, вызывает определенные затруднения. Изберем другой путь.

Попытаемся выяснить вид границы области устойчивости, рассматривая равенство (4.146) при таких комплексных λ, модуль которых равен единице. При этом будем пользоваться как тригонометрической, так и показательной формами комплексного числа, т.е. тем, что при |λ| = 1 по формуле Эйлера

Выражая из (4.146) текущую комплексную переменную µ, с помощью равенства (4.147) получаем:

µ= 21λ2 − λ2 + 32 = 12e−2iφ − 2e−iφ + 32 =

=12 cos 2φ − 12i sin 2φ − 2 cos φ + 2i sin φ + 32 = u + iν,

Найденные выражения u и ν текущей точки µ границы области устойчивости можно рассматривать как ее параметрические уравнения, в которых параметром служит полярный угол φ. Из (4.148) сразу видно, что граница находится в правой полуплоскости, а ис-

следуя определенную в (4.149) функцию ν на экстремум, выясняем, что существуют два

√

значения параметра φ1,2 = arccos 1±2 3 , которым соответствуют экстремальные значения ν ≈ ±2 при u ≈ 1.85. Найдя еще дополнительно две характерные точки границы (0;0) и (4;0), схематично изображаем замкнутую линию, определяемую параметрическими уравнениями (4.148), (4.149). Эта линия делит всю комплексную плоскость на две области: в

одной из них модули корней уравнения (4.146) меньше единицы, в другой - хотя бы один из корней больше единицы. Подставив в (4.146), например, µ = −1/2, получаем уравнение 4λ2 − 4λ + 1 = 0 с корнями λ1,2 = 1/2 < 1. Следовательно, область устойчивости метода (4.113) лежит за пределами построенной замкнутой линии и содержит левую полуплоскость.

К сожалению, класс A-устойчивых методов весьма узок. Доказано, что среди линейных многошаговых методов (4.141) нет явных А-устойчивых методов, а порядок неявных А- устойчивых методов этого семейства (4.141) не может быть больше двух.

В связи с этим представляет интерес введение более слабых определений устойчивости, которые расширяли бы множество разностных методов, хотя бы ограниченно пригодных для численного решения жестких задач.

Прямым обобщением A-устойчивости является A(α)-устойчивость.

Определение 4.4.9. Разностный метод (4.141) называется A(α)-устойчивым, если существует угол α (0, π/2] такой, что область устойчивости метода содержит сектор комплексной плоскости переменных µ = ph, определяемый неравенством

| arg(−µ)| < α.

Очевидно, что А-устойчивость - это A(π/2)-устойчивость.

A(α)-устойчивые методы можно найти в подсемействе семейства m-шаговых разностных методов (4.141), определяемом формулой

∑m

j=0

Счет по формулам вида (4.150) не использует значений производных решения в предыдущих узлах, и поэтому такие методы называют чисто неявными методами. Источником получения конкретных A(α)-устойчивых чисто неявных методов вида (4.150) служит применение к аппроксимации производной в равенстве

формул дифференцирования назад, т.е. несимметричных формул, аппроксимирующих y′(xi+1) с разным порядком точности с помощью значений yi+1, yi, yi−1 и т.д.

Так, аппроксимация y′(xi+1) в (4.151) разностными отношениями

приводит к изученным нами A(π/2)-устойчивости чисто неявным методам первого (4.110) и второго (4.113) порядков. Аналогично, аппроксимация y′(xi+1) по формулам, например, третьего и четвертого порядков приводит к чисто неявным методам

которые, как доказано, являются A(α)-устойчивыми со значениями α ≈ 1.544 рад (≈ 88◦)

√

для метода третьего порядка (4.152) и α = arctan 6 ≈ 1.278 рад (≈ 68◦) для метода четвертого порядка (4.153). С повышением порядка метода дифференцирования назад

134 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

значения угла α уменьшаются, и при порядке выше шестого A(α)-устойчивых методов среди семейства многошаговых методов (4.150) нет ни для каких α > 0.

Заметим, что при применении чисто неявных методов к численному интегрированию жестких задач соответствующие используемому методу разностные уравнения, в общем случае нелинейные относительно очередного значения yi+1, должны решаться достаточно точно. Здесь рекомендуется привлекать быстросходящиеся итерационные методы типа метода Ньютона.

Вернемся к началу этого параграфа и посмотрим, что означают A и A(α)-устойчивость разностных методов, применяемых именно к жестким системам дифференциальных уравнений.

Если некоторый метод А-устойчив, то он пригоден для формального нахождения приближенного решения модельного уравнения y′ = py с любым шагом h > 0 при любых комплексных p с отрицательными вещественными частями, а это в свете наблюдений предыдущего параграфа означает, что шаг h может быть подобран так, чтобы система (4.144) решалась устойчиво при любом разбросе собственных значений ее матрицы А, т.е. практически при любой величине числа жесткости g. Если же метод A(α)-устойчив с α < π/2, то допустимость этого метода для решения системы (4.144) можно связать с тем, вписываются ли собственные числа λk ее матрицы, а точнее, величины λkh, в определяемый данным α сектор комплексной плоскости (см. определение 4.4.9).

4.5Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

4.5.1Постановка задачи. Классификация приближенных методов

Будем рассматривать двухточечные краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Общий вид таких задач

где F, ϕ1, ϕ2—заданные функции определенной гладкости. Наиболее употребительны и лучше всего изучены линейные краевые задачи, т.е. задачи вида (4.154), в которых F, ϕ1, ϕ2— линейные функции. Для определенности будем считать основным объектом дальнейшего изучения линейную краевую задачу

где к коэффициентам краевых условий (4.156), (4.157) представляется требование

а функции p = p(x), q = q(x) и f = f(x) в уравнении (4.155) должны быть такими, чтобы данная задача имела единственное решение y = y(x) в заданном функциональном пространстве. Краевые условия (4.156), (4.157) опреднляют так называемую третью или, иначе, смешанную краевую задачу для уравнения (4.155), содержащую в себе первую (когда α1 = β1 = 0) или вторую (при α0 = β0 = 0) краевые задачи. Оставив в стороне

136 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Зададимся некоторым числом C1 и будем рассматривать задачу Коши для уравнения (4.159) с начальными условиями

y(a) = A. y′(a) = C1.

Предположим, что на отрезке [a, b] построено приближенное решение y = y1(x, C1) этой начальной задачи. Сравнение значения y1(b, C1) полученного решения в точке x = b с заданным, согласно (4.160), значением B дает информацию для корректирования угла наклона касательной к решению y = y2(x, C2) новой начальной задачи с условиями

y(a) = A. y′(a) = C2

так, чтобы уменьшить разницу B − y2(b, C2). На этой основе могут выстраиваться те или иные стратегии варьирования задаваемых значений y′(a) = C1, C2, C3, . . . , обеспечивающих, по возможности, наиболее быструю практическую сходимость к числу B последовательности приближений yk(b, Ck) (k = 1, 2, 3, . . . ). Если при заданном ε > 0 и некотором k = n будет выполнено неравенство |B − yn(b, Cn)| ≤ ε, за искомое приближенное решение краевой задачи (4.159)-(4.160) принимается функция y = yn(x, Cn) (дискретная или непрерывная).

Схематично описанный способ получения приближенного решения первой краевой задачи путем последовательного решения нескольких задач Кощи для того же уравнения называют методом пристрелки (или стрельбы).

Метод редукции. Будем искать решение y = y(x) линейной краевой задачи (4.155)- (4.157) в виде

где C и u = u(x), v = v(x)—некоторые постоянная и функции, условия на которые будут накладываться ниже.

Сначала потребуем, чтобы функция (4.161) была решением уравнения (4.155) при любом значении постоянной C, т.е. чтобы имело место

L[Cu + v] = f C R.

В силу линейности заданного в (4.155) дифференциального оператора L, последнее можно переписать в виде

L[v] = f.

имеющему первый порядок точности независимо от точности апроксимации краевых условий.

Теперь воспользуемся линейностью краевого условия (4.156). Имеем:

4.5. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнен

Первое равенство из (4.164) будет выполнено, ели положить, например,

если α1 ≠ 0. Заметим, что одновременно α0 и α1 в нуль не обращаются, в силу условия (4.158); неоднозначность задания начальных условий для u и v связана с лишней степенью свободы: одна неизвестная функция y заменяется линейной комбинацией двух функций

(u и v).

Итак, согласно (4.191), функции u и v в представлении решения (4.161) можно найти, решая уравнения

с начальными условиями (4.165) для (4.168) и с начальными условиями (4.166) или (4.167) для (4.169), применяя какие-либо методы решения задач Коши для уравнений второго порядка. Приближенное решение этих задач строится на отрезке [a, b], в результате чего становятся известными, в частности, значения u(b), u′(b), v(b), v′(b). Это позволяет подобрать постоянную C так, чтобы с этим значением C и найденными функциями u(x) и v(x) функция y = Cu + v удовлетворяла не только уравнению (4.155) и условию (4.156), но и второму условию (4.157). Имеем:

Замечание. Если знаменатель выражения C в (4.170) окажется равным нулю, это

имеет нетривиальное решение u(x), что, в свою очередь, служит признаком вырожденности исходной задачи (4.155)-(4.157).

Метод дифференциальной прогонки. При выводе метода прогонки решения линейных алгебраических систем с трехдиагональными матрицами коэффициентов, т.е. для трехточечных разностных уравнений второго порядка, связывающих три соседние компоненты вектора неизвестных системы, мы исходили из предположения о наличии связей между каждыми двумя соседними неизвестными и получали рукуррентные формулы для коэффициентов таких связей. Проводя параллель между линейными дифференциальными и линейными разностными уравнениями, предположим, что существуют такие две функции δ = δ(x) и γ = γ(x), с помощью которых решение y = y(x) данного линейного дифференциального уравнения второго порядка (4.155) может быть представлено как решение уравнения первого порядка

138 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Продифференцируем это равенство и подставим выражение второй производной y′ =

δ′y + δy′ + γ′ в исходное уравнение (4.155). Имеем:

δ′y + δy′ + γ′ + py′ + qy = f,

откуда, выразив y′, получаем равенство типа (4.171):

Чтобы найти начальные условия для уравнений системы (4.173), учтем, что решение yx в точке a должно удовлетворять уравнению (4.172), т.е. должно выполняться равенство

С другой стороны, в предположении, что α1 ≠ 0, из краевого условия (4.156) для того же решения в точке a имеем

Решив на отрезке [a, b] задачу Коши для системы (4.173) с начальными условиями (4.176), получим требуемые для уравнения (4.171) функции δ(x) и γ(x). Для нахождения частного решения y(x) уравнения (4.171), служащего одновременно решением данной краевой задачи, аналогично предыдущему запишем равенство

y′(b) = δ(b)y(b) + γ(b)

и подставим это выражение y′(b) в краевое условие (4.157):

β0y(b) + β1δ(b)y(b) + β1γ(b) = B.

Отсюда получаем привязку решения y(x) в точке b:

4.5. Методы приближенного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнен

(если β0 + β1δ(b) ≠ 0). Остается решить задачу Коши (4.171), (4.177) от точки b к точке a. Таким образом, метод дифференциальной прогонки решения линейной краевой задачи (4.155)-(4.157) заключается в решении трех начальных задач для дифференциальных уравнений первого порядка: сначала параллельно (или последовательно в записанном порядке) решаются уравнения (4.173), с начальными условиями (4.176) в прямом направлении от a до b, затем в обратном направлении от b к a решается (4.171) с начальным

условием (4.177).

При численной реализации этого метода следует обратить внимание на необходимость согласования расчетных сеток решения начальных задач в одном и в другом направлениях так, чтобы имелась возможность получения решения последнего уравнения (4.171) с нужной точностью при условии, что в процессе численного интегрирования вспомогательных уравнений (4.173) находятся лишь каркасы функций δ(x) и γ(x) на своих сетках.

Замечание. Если не выполняется сделанное выше предположение α̸= 0, то вместо описанной дифференциальной прогонки, которую естественно назвать левой, можно применить правую прогонку, предполагая β1 ≠ 0. Для этого достаточно начальные условия для нахождения функций δ(x) и γ(x) вывести из краевого условия (4.157), а для y(x) из (4.156). В результате придется строить вспомогательные решения, т.е. решать систему (4.173) в направлении от b к a, а окончательное решение y(x) находится из уравнения (4.171) в прямом направлении от a к b. Очевидно, что когда α1 = β1 = 0, т.е. в случае первой краевой задачи, рассмотренной выше метод дифференциальной прогонки неприменим (можно сказать, что они дополняют друг друга с методом пристрелки).

4.5.3Метод конечных разностей

Идея метода конечных разностей(МКР) решения краевых задач заключается в следующем: вместо производных в дифференциальном уравнении используются их конечноразностные аппроксимации.

Рассмотрим наиболее типичные воплощения указанной идеи МКР для линейной краевой задачи (4.155)-(4.157).

Сначала вводим на отрезке [a, b] сетку с шагом h = b −n a:

ωh := {xi|xi = x0 + ih; i = 0, 1, . . . , n; x0 := a, xn := b}. На этой сетке определяются сеточные функции

отвечающие функциональным коэффициентам данного дифференциального уравнения (4.155). Считая y(x) точным решением данной краевой задачи (4.155)-(4.157), через

будем обозначать i-ю компоненту искомого каркаса приближенного решения yn(x) ≈ y(x). Фиксируя в уравнении (4.155) x = xi, с учетом обозначений (4.178) приходим к равен-

ствам

где целая переменная i может принимать значения от 0 до n по числу узлов сетки, а под y(xi), y′(xi), y′′(xi) понимаются значения точного решения y(x) и его производных в i-ом узле. В каждом внутреннем узле сетки ωh, т.е. при i = 1, 2, . . . , n − 1, значения производных апроксимируем конечноразностными отношениями по симметричной формуле

140 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

второго порядка точности (см. (3.65)):

В результате подстановки последних в равенстве (4.180) при i = 1, 2, . . . , n − 1 получаем

Это уравнение служит точным отражением дифференциальной связи (4.155), но в нем имеется неопределенное слагаемое O(h2). Отбрасывая его, приходим к разностному уравнению относительно приближенных значений решения (обозначения которых соответствуют (4.179)):

После приведения подобных членов в (4.181) получаем стандартное трехточечное разностное уравнение второго порядка

где i = 1, 2, . . . , n − 1.

Интерпретируя (4.182) как компактную запись системы линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей коэффициентов, видим, что число уравнений в ней n − 1, в то время как неизвестных—n + 1 : y0, y1, . . . , yn. Два недостающих уравнения этой системы (или, в другой терминологии, краевые условия разностного уравнения (4.182)) следует получить на основе краевых условий (4.156), (4.157) данной задачи.

Будем рассматривать два варианта апроксимации входящих в краевые условия значений первой производной решения в точках a = x0 и b = xn. Конкретно здесь идет речь о несимметричных апроксимациях первого и второго порядков точности.

Согласно формулам (3.61), (3.72), (3.60) и (3.73), можно записать равенства

В первом варианте, при апроксимации y′(a) и y′(b) в (4.156) и (4.157) двухточечными разностными отношениями первого порядка, имеем

α0y(x0) + α1 y(x1) − y(x0) + O(h) = A, h

β0y(xn) + β1 y(xn) − y(xn−1) + O(h) = B, h

Отсюда после отбрасывания слагаемого O(h) (с заменой y(xi) на yi) и упрощения получаем краевые условия для разностного уравнения (4.182), иначе, нулевое и n-е уравнения