num-meth

Предположим, что правая часть и решение данной задачи (4.104) обладает достаточной

В этом предположении оценим глобальную погрешность методом Эйлера.

Вычитая из линеаризованного по формуле Тейлора выражения решения y = y(x) в точке xi+1 получаемое явным методом Эйлера (4.109) значение yi+1, в соответствии с обозначением (4.114) имеем:

δi+1 = y(xi+1) − yi+1 =

= y(xi) + y′(xi)h + 12y′′(Θi)h2 − yi − hf(xi, yi) = = δi + h[f(xi, y(xi)) − f(xi, yi)] + 12y′′(Θi)h2.

Применив к разности функций в последнем выражении формул, Лагранжа по второму аргументу, получаем

Таким образом, связь между ошибками в (i + 1)-м и i-м узла описывается разностным

(Θi и νi - некоторые точки из области задания и области значений решения y(x) соответственно). Анализировать это уравнение будем позже, а здесь произведем оценивание абсолютной погрешности, используя условия (4.115). Благодаря им из (4.116) получаем рекуррентное неравенство

|δi+1| ≤ A(A|δi−1| + B) + B = A2|δi−1| + (A + 1)B ≤

≤ A2(A|δi−2| + B) + (A + 1)B = A3|δi−2| + (A2 + A + 1)B ≤ ...

≤ Ai+1|δ0| + (Ai + Ai−1 + ... + A + 1)B = Ai+1 − 1B, A − 1

поскольку δ0 = y(x0) −y0 = 0, согласно начальному условию. При i = n −1 в соответствии с обозначением (4.119) отсюда получаем оценку глобальной погрешности метода Эйлера

Чтобы проще было судить о порядке глобальной погрешности, применим в правой части ее оценки формулу Ньютона n-й степени бинома. В результате имеем

122 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Как видим, глобальная погрешность метода Эйлера имеет первый порядок относительно шага h и совпадает по порядку с погрешностью аппроксимации дифференциальной начальной задачи (4.104) дискретной задачей (4.109) с начальным значением y0.

Если при выводе разностных уравнений типа (4.117) для ошибок δi ограничиваться указанием только порядка свободных членов, то такие уравнения проще получать сравнением исследуемых разностных схем с приведшими к ним результатами аппроксимаций дифференциального оператора разностным. Продемонстрируем это на неявном (4.110) и уточненном (4.111) методах Эйлера.

Перепишем равенство (4.106) в виде

y(xi+1) = y(xi) + hf(xi+1, y(xi+1)) + O(h2)

и вычтем из него (4.110). Используя обозначение (4.114) и формулу конечных приращений Лагранжа, имеем

δi+1 = δi + h[f(xi+1, y(xi+1)) − f(xi+1, yi+1)] + O(h2) = = δi + hfy′ (xi+1, νi+1) + O(h2),

откуда после разрешения полученного равенства относительно δi+1приходим к тому же разностному уравнению (4.117), в котором

Аналогично, сравнение равенства (4.111), определяющего уточненный метод Эйлера, с эквивалентным (4.107) равенством

y(xi+1) = y(xi−1) + 2hf(xi, y(xi)) + O(h3)

дает

δi+1 = δi + 2h[f(xi, y(xi)) − f(xi, yi)] + O(h3) = = δi−1 + 2hfy′ (xi, νi)δi + O(h3).

Следовательно, ошибка двухшагового метода (4.111), основанного на симметричной формуле второго порядка аппроксимации производной, удовлетворяет трехточечному рекуррентному соотношению

где Ai := 2hfy′ (xi, νi).

4.4.2.2Краткие сведения о решениях линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами

Численное решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения разностного, связывающего приближенные значения исходного решения в нескольких соседних сетки, количество которых (минус один) определяет, сколькишаговым является численный метод. Разностным уравнениям удовлетворяют и ошибки методов в узлах. Поэтому для анализа приближенных решений дифференциальных уравнений и их погрешностей важно иметь представление о решениях разностных уравнений.

Ограничимся некоторыми первичными сведениями о решениях линейных разностных уравнений m-го порядка с постоянными коэффициентами, имеющих вид

Изучение таких уравнений проводится аналогично изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так же, как и в дифференциальном случае, рассматривается соответствующее (4.122) однородное разностное уравнение

ищется его общее решение Ui, представляющее собой линейную комбинацию m фундаментальных решений Uij (j = 1, 2, . . . , m), находится какое-либо частное решение ui, неоднородного уравнения (4.122); тогда общее решение ui, уравнения (4.122) представляется суммой Ui и ui.

Подобно тому, как в случае линейного дифференциального уравнения решение соответствующего однородного ищут в виде показательной функции, здесь нетривиальное

Это уравнение называют характеристическим по отношению к уравнению (4.123) (а значит, и к (4.122)), поскольку уравнение (4.123) имеет решения вида (4.124) только в том случае, если λ есть корень алгебраического уравнения (4.125).

Предположим, что все корни λ1, λ2, . . . , λm характеристического уравнения (4.125) - действительные различные. Тогда выражения

Ui1 = λi1, Ui2 = λi2, . . . , Uim = λim

образуют полную систему фундаментальных решений, и общее решение этого уравнения есть

где c1, c2, . . . , cm - произвольные постоянные.

Такой же вид (4.126) будет иметь общее решение уравнения (4.123) и в случае, когда среди корней уравнения (4.125) есть комплексные, но нет кратных. Если же некоторое число λj является k -кратным корнем характеристического уравнения, то, опять-таки, подобно дифференциальному случаю, ему будет соответствовать k фундаментальных решений:

λij, iλij, . . . , ik−1λij.

Обращаясь теперь к исходному неоднородному уравнению (4.122), непосредственной проверкой убеждаемся, что выражение

можно считать его частным решением (если в (4.127) знаменатель не обращается в нуль). Таким образом, общее решение разностного уравнения (4.122) есть функция целочисленного аргумента i, имеющая вид

124 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

если λj (j = 1, . . . , m) - простые корни характеристического уравнения (4.125), и содержащая слагаемые вида

cjλij + cj+1iλij + cj+k−1ik−1λij,

соответствующие каждому k-кратному корню λj.

Для разностных уравнений, как и для дифференциальных, также можно ставить начальные и краевые задачи, задавая значения ui при определенных значениях i, что позволяет из общих решений фиксированием произвольных постоянных выделять частные решения, удовлетворяющие конкретной задаче. В этой главе для нас будут представлять интерес начальные задачи для (m + 1)-точечных разностных уравнений (4.122), которые можно считать некоторыми m-шаговыми аппроксимациями задачи Коши (4.104).

4.4.2.3Устойчивость и неустойчивость некоторых простейших разностных схем

Изучение устойчивости численных методов решения начальных задач (4.104) обычно проводят на простом уравнении вида

называемом в данном случае модельным уравнением; будем пока считать здесь p вещественным параметром. Его общее решение есть

y = Cepx

и решение соответствующей ему задачи Коши с начальным условием y(x0) = y0- функция

- стремится к нулю, если p < 0, и бесконечно растет по абсолютной величине при p > 0. Посмотрим, как ведут себя ошибки простейших численных методов, примененных к модельному уравнению (4.129).

Метод Эйлера (4.109) на модельном уравнении (4.129) (с f(x, y) = py и fy′ (x, y) = p) допускает ошибку, которая согласно (4.117), (4.118) удовлетворяет рекуррентному равенству (иначе, разностному уравнению)

где i = 0, 1, . . . и δ0 = 0. Второе слагаемое в (4.131) связано с погрешностью аппроксимации данного дифференциального уравнения (4.129) разностной схемой

и его влиянием на численную устойчивость процесса (4.132) можно пренебречь (правда, считать его постоянным, т.е. не зависящим от i , можно лишь условно). Характеристическое уравнение (4.125) для (4.131) при m = 1 имеет единственный простой корень

λ = 1 + ph,

определяющий фундаментальное решение

∆i = (1 + ph)i

соответствующего однородного уравнения. Частным решением уравнения (4.131), согласно форме (4.127), можно считать

δi = 1 − (1 + ph) = O(h).

Следовательно, представление ошибки, накопленной к (i + 1)-му шагу реализации (4.132) метода Эйлера (4.109), имеет вид

где C = δ0 − O(h), а под δ0 может пониматься либо нуль при точном стартовом значении y0 = y(x0), либо небольшая ошибка приближенного ввода y0 ≈ y(x0).

Анализируя поведение ошибки (4.133) при i → +∞, видим, что ее рост будет ограниченным, если шаг сетки h будет удовлетворять неравенству

Ясно, что при положительных p это неравенство не может быть выполнено ни при каких h > 0; действительно, если решение растет по абсолютной величине (см. (4.130)), то и погрешность получаемого методом Эйлера приближенного решения неизбежно растет. При отрицательных p неравенство (4.134) равносильно условию 0 ≤ h ≤ −2/p, т.е. допустим любой шаг из промежутка (0, −2/p].

Таким образом, метод Эйлера (4.109) устойчив на модельном уравнении (4.129), если в этом уравнении p < 0 и расчетный шаг метода h ≤ −2/p. Это ограничение на шаг относит явный метод Эйлера к условно устойчивым методам.

Неявный метод Эйлера (4.110) имеет ошибку, которая в соответствии с (4.120) удовлетворяет разностному уравнению

Решение этого уравнения, согласно (4.128) с учетом того, что λ = 1−1ph , можно записать так:

Отсюда видно, что для невозрастания ошибки δi с ростом i нужно потребовать выполнения неравенства

1

|1 − ph| ≤ 1,

что при ph ≠ 1 равносильно неравенству

Для отрицательных p это неравенство выполняется при любых h > 0, т.е. неявный метод Эйлера абсолютно устойчив. Если же p > 0, то в таком случае равносильным (4.135) является неравенство ph > 0, т.е. рост погрешности будет заведомо ограниченным при условии, что расчетный шаг не слишком мал, а именно, при h ≥ 2/p.

Уточненный метод Эйлера (4.111), приложенный к модельному уравнению (4.129), задается однородным трехточечным разностным уравнением второго порядка

а ошибка δi, накапливаемая этим методом к i-му шагу, согласно (4.121), удовлетворяет неоднородному уравнению

126 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Составив характеристическое уравнение вида (4.125) при m = 2

λ2 = 2phλ + 1

и найдя его корни

√ √

λ1 = ph + 1 + p2h2 и λ2 = ph − 1 + p2h2,

видим, что λ1 > 1 при p > 0, а λ2 < −1 при p < 0. Значит, соответствующее записи (4.128) общее решение уравнения (4.137)

δi = C1λi1 + C2λi2 + O(h2)

с ростом i будет расти по абсолютной величине при любых p и h не зависимости от начальных условий, определяющих ненулевые постоянные C1 и C2.

Таким образом, уточненный метод Эйлера (4.111), обладая более высоким порядком аппроксимации, чем явный или неявный методы Эйлера, является неустойчивым методом.

Попытаемся понять природу такой неустойчивости метода (4.111).

Сравнивая уравнение (4.136) для каркаса решения и уравнение (4.137) для его ошибки, приходим к выводу, что они имеют одни и те же фундаментальные решения

Применив к 1 + p2h2 биномиальное разложение и увидев в результате такого разложения

Если теперь рассмотреть точное решение (4.130) модельного уравнения (4.129) на сетке x0 = 0, xi = ih,

а точнее, фундаментальное решение Y (x) = epx линейного уравнения (4.129), то оказывается, что сеточное фундаментальное решение описывается равенством

т.е. совпадает с приближенным представлением одного из фундаментальных решений разностного уравнения (4.136).

Итак, трехточечное разностное уравнение (4.136), являясь уравнением второго порядка, имеет два фундаментальных решения: (4.138) и (4.139), одно из которых является паразитным. При p отрицательных, когда точное решение (4.140) убывает, за счет паразитного фундаментального решения (4.139) происходит рост приближенного решения yi. Если же p положительно, то ошибка δi, как уже выяснилось, растет, но поскольку в этом случае растет и решение, рост ошибки не страшен (паразитное фундаментальное решение

(4.139) при этом затухает, что влечет убывание относительной погрешности приближенного решения).

Возвращаясь к общему случаю уравнения y′ = f(x, y), отметим, что в роли параметра p в приведенных и в аналогичных им исследованиях численной устойчивости методов, согласно (4.118), (4.120) и т.п., должны фигурировать значения функции fy′ (x, y). Если можно считать, что fy′ (x, y) ≈ const, то допустимо использование (кусочно-) постоянных аппроксимаций fy′ и применение фактов теории линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами. В противном случае требуется привлечение более тонких результатов о решениях линейных разностных уравнений с переменными коэффициентами.

4.4.2.4Исследование устойчивости многошаговых методов

Будем теперь рассматривать на предмет устойчивости (2m+1)-параметрическое семейство линейных m-шаговых методов вида

впредположении, что выполняются условия согласованности его коэффициентов αi(i = 1, 2, . . . , m) и βi(i = 0, 1, . . . , m), необходимые и достаточные для обеспечения, как минимум, первого порядка точности метода (4.141). Даже на модельном уравнении (4.129) сложно проанализировать накопление погрешностей в численном процессе (4.141) так, как это делалось для простейших разностных схем. Поэтому к исследованию устойчивости многошаговых методов часто применяют упрощенный подход, предложенный в пятидесятых годах двадцатого века шведским математиком Дальквистом. Суть подхода состоит

втом, что нелинейное разностное уравнение (4.141), аппроксимирующее данное дифференциальное уравнение (4.104), в свою очередь, аппроксимируется однородным линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами

Оно получается отбрасыванием в уравнении (4.141) второго слагаемого из тех соображений, что сходимость метода (а значит, и поведение каркаса решения, поведение ошибки) изучается при h → 0; наличие множителя h во втором слагаемом позволяет допустить, что оно играет ограниченную роль, если функция f ограничена.

В соответствии с изложенным в двух предыдущих параграфах, поведение решений Yi разностного уравнения (4.142) и его аппроксимационные свойства по отношению к данному дифференциальному уравнению тесно связаны с величинами корней характеристического уравнения

через которые выражаются фундаментальные решения уравнения (4.142) и аналогичного ему уравнения для ошибок.

Определение 4.4.4. Метод (4.141) при выполнении условий согласованности называется устойчивым по Дальквисту, если все корни характеристического уравнения (4.143) по модулю не превосходят единицы и среди корней λk, таких, что |λk| = 1, нет кратных. Если, кроме того, m − 1 корней уравнения (4.143) по модулю меньше единицы, то метод (4.141) называется строго устойчивым или сильно устойчивым.

128 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Чтобы осмыслить определение устойчивости по Дальквисту, достаточно вспомнить, что приближенное выражение ошибки δi метода (4.141) представляется линейной комбинацией фундаментальных решений δij(j = 1, 2, . . . , m) разностного уравнения

∑m

δi+1 = αjδi+1−j,

j=1

и чтобы не наблюдалось роста ошибки, требуется ограничить единицей корни характеристического уравнения (4.143), через степени которых выражаются фундаментальные решения δij. При этом нельзя допустить наличия кратных корней с модулями, равными единице, ибо в противном случае неизбежен рост ошибки при i → ∞ из-за наличия в представлении δi слагаемых с модулями, пропорциональными i, i2, . . . , ik−1, где k- показатель кратности корня. Строгая же устойчивость означает, что в представлении решения Yi однородного разностного уравнения (4.142) через фундаментальные решения Yij(j = 1, 2, . . . , n) лишь одно слагаемое должно аппроксимировать решение дифференциального уравнения (4.104), а остальные слагаемые должны стремиться к нулю, т.е. паразитные фундаментальные решения должны быть затухающими.

Поскольку данное определение устойчивости не учитывает второе слагаемое в формуле (4.141), с его помощью можно делать лишь грубую отбраковку неустойчивых методов.

Прим´eним определение 4.4.4 к нескольким изучавшимся ранее методам.

Явный и неявный методы Эйлера (4.109), (4.110) имеют характеристическое уравнение λ − 1 = 0 с единственным корнем λ1 = 1; следовательно, они строго устойчивы по Дальквисту (как, кстати, и любой другой одношаговый метод, рассматриваемый в качестве частного случая m-шаговых методов).

Уточненный метод Эйлера (4.111) является двухшаговым методом с характеристическим уравнением λ2 − 1 = 0; наличие двух простых корней λ1,2 = ±1 говорит об устойчивости этого метода по Дальквисту, но не строгой устойчивости.

Метод Адамса (явный или неявный)

∑m

yi+1 = yi + h βjf(xi+1−j, yi+1−j)

j=0

строго устойчив по Дальквисту при любом m N, так как его характеристическое уравнение λm −λm−1 = 0 имеет один корень, равный единице, а остальные m −1 корней равны нулю. То же можно сказать и о методе Коуэлла.

Метод Милна четвертого порядка, как известно, определяется двумя формулами: прогноза

4h

yˆi+1 = yi−3 + 3 (2fi − fi−1 + 2fi−2)

и коррекции

yi+1 = yi−1 + h3 (fˆi+1 + 4fi + fi−1)

Первая из этих формул является четырехшаговой с характеристическим уравнением λ4 − 1 = 0, корни которого λ1,2 = ±1, λ3,4 = ±i, а вторая - двухшаговой, для которой соответственно имеем λ2 − 1 = 0, λ1,2 = ±1. Как видим, та и другая формулы определяют разностный метод, устойчивый по Дальквисту, но не строго устойчивый. Таким образом, метод Милна четвертого порядка, несколько выигрывая у метода прогноза и коррекции, построенного на основе методов Адамса того же порядка, по точностной характеристике, проигрывает последнему по устойчивости.

Требование устойчивости по Дальквисту должно учитываться при конструировании конкретных методов из семейства (4.141). Это означает, что при подборе параметров в формуле (4.141) следует заботиться не только о том, чтобы она аппроксимировала данное дифференциальное уравнение как можно точнее, но и чтобы соответствующее этой формуле алгебраическое уравнение (4.143) имело ограниченные единицей модули корней и не допускались кратные корни с модулями, равными единице.

Априори 2m + 1 коэффициентов αj, βj, в методе (4.141) можно подобрать так, чтобы находимые с его помощью приближения yi аппроксимировали значения решения y(xi) задачи (4.104) с порядком 2m, т.е. чтобы этот метод был точен для многочленов степени 2m. Однако доказано, что построенные на этой основе методы наивысшего алгебраического порядка точности являются заведомо неустойчивыми.

Теорема 4.4.1. Пусть s - порядок аппроксимации n-шаговым разностным методом (4.141) задачи (4.104). Тогда в каждом из следующих случаев:

а) метод явный (β0 = 0) и s > m;

б) метод неявный (β0 ≠ 0), m - нечетное и s > m + 1;

в) метод неявный (β0 ≠ 0), m - четное и s > m+2 среди корней λi, характеристического уравнения (4.143) найдется корень, по модулю больший единицы.

4.4.3Жесткие уравнения и системы

Имеются задачи, для которых вопрос об устойчивости или неустойчивости применяемых численных методов стоит наиболее остро и требует большой дифференциации. Речь идет о начальных задачах для дифференциальных уравнений, называемых жесткими. Такие задачи, возникающие в самых разных прикладных областях, в последние десятилетия являются объектом повышенного внимания специалистов по вычислительной математике и служат тем оселком, на котором оттачиваются понятия, формулировки, методы, алгоритмы, программы.

В литературе можно встретить несколько определений жесткости, отличающихся разным уровнем строгости. При первом знакомстве более важно понять, в чем состоит проблема при численном интегрировании дифференциальных уравнений, выделяющая какие-то из них в разряд жестких, и как ведут себя те или иные методы на таких задачах. Приведем цитату из посвященной жестким уравнениям монографии К. Деккера и Я. Вервера: “Сущность явления жесткости состоит в том, что решение, которое нужно вычислить, меняется медленно, однако существуют быстро затухающие возмущения. Наличие таких возмущений затрудняет получение медленно меняющегося решения численным способом”.

Пусть n-мерная система

имеет асимптотически устойчивое решение

x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))T .

Если его компоненты, т.е. x1(t), . . . , xn(t),существенно различаются по скорости своего изменения на промежутке [t0, T ], на котором решается задача Коши для (4.144), то применение здесь условно устойчивых численных процессов требует интегрирования с таким малым шагом, какой обеспечивает устойчивое вычисление самой быстрозатухающей компоненты (ведь шаг h - величина скалярная, общая для всех компонент). Следовательно, жесткость системы дифференциальных уравнений зависит от того, насколько сильно разнится поведение компонент вектора-решения при условии его асимптотической устойчивости. В свою очередь, в случае постоянной матрицы A в системе (4.144) это различие в

130 Глава 4. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

скорости изменения функций x1(t), . . . , xn(t) связано с тем, насколько сильно различаются собственные числа λ1, . . . , λn матрицы A.

Отсюда приходим к следующему определению жесткой системы.

Определение 4.4.5. Система (4.144) с постоянной n × n-матрицей A называется жесткой, если собственные числа λk(k = 1, 2, . . . , n) матрицы A удовлетворяют следующим условиям:

1)Reλk < 0 k {1, 2, . . . ,

2)Число жесткости g :=

Нестрогость, заключенная в последнем слове данного определения, сродни той, которая присутствует при введении понятия "плохая обусловленность матрицы"; избавиться от нее можно, лишь рассматривая конкретную задачу.

В случае линейной системы с переменными коэффициентами, т.е. A = A(t) в (4.144), собственные числа λk и, соответственно, число жесткости g являются функциями от t, и определение 4.4.5 жесткой системы может быть переформулировано следующим образом.

Определение 4.4.6. Система

x˙ = A(t)x, t > 0

называется жесткой на интервале (0, T ), если при всех t (0, T )

Reλk(t) < 0 k {1, 2, ..., n}

и число sup g(t) велико.

t (0,T )

При определении жесткости нелинейной системы

x˙ = F(x,t)

в основу кладут предыдущее определение, роль матрицы A(t) в котором отводится мат-

рице частных производных ∂fi (i, j = 1, 2, ..., n), где fi и xi - компоненты вектор-функций

∂xj

F и x соответственно.

Заметим, что требование асимптотической устойчивости точного решения системы дифференциальных уравнений, обеспечивающееся выполнением первого условия приведенных определений жесткости, иногда заменяют более слабым условием асимптотической устойчивости не всех, а только быстрозатухающих компонент вектора-решения, что расширяет класс жестких систем. С другой стороны, промежуток, на котором действуют быстрозатухающие возмущения, часто не относят к промежутку жесткости.

4.4.3.1A- и A(α) устойчивость. Чисто неявные методы

Как следует из материала предыдущего параграфа, жесткие уравнения предъявляют жесткие требования к устойчивости численных методов, применяемых для их решения. А именно: при получении асимптотически устойчивого решения жесткой задачи Коши ошибка разностного метода не должна расти при любом шаге, т.е. метод должен быть безусловно устойчивым. Чтобы оформить сказанное более четко, дадим сначала определение области устойчивости.

Определение 4.4.7. Областью устойчивости разностного метода (4.141) решения начальной задачи (4.104) называется множество всех точек комплексной плоскости, определяемой комплексной переменной µ = ph, для которых этот метод, примененный к модельному уравнению (4.129), устойчив, т.е. обеспечивает невозрастание ошибки.