Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

SpecFunc.pdf

Скачиваний:

130

Добавлен:

05.06.2015

Размер:

2.13 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Задачи для уравнения теплопроводности

то коэффициенты fn можно найти сразу, не вычисляя интегралов:

f(θ) =

P0(cos θ) + P2(cos θ)

n = 0;

n = 2;

n = 1;

n > 3.

Таким образом,

u(r, θ) =

P0(cos θ) +

P2(cos θ) =

3 cos2 θ

−

11 − 2 ·

+ 2 ·

· cos2 θ.

Ответ:

11 R

4 R3

1 R

11 − 2 ·

u(r, θ) =

P0(cos θ) +

P2(cos θ) =

+ 2 ·

· cos2 θ,

где Pn(x) – полиномы Лежандра (2.1.2).

2.20. № 794 б). Остывание шара

Найти ограниченную функцию u(r, θ, ϕ; t) из условий

−

[0, R),

θ (0, π), ϕ

[0, 2π), t > 0;

(r2ur)

sin θuθ

uϕϕ

= 0,

sin

∞

αu(R, θ, ϕ; t) + βu (R, θ, ϕ; t) = 0;

(2.20.1)

u(0, θ, ϕ; t)

u(r, θ, ϕ; 0) = ψ(r, θ, ϕ).

Шаг 1. Решение уравнения с краевым условием, ограниченное в шаре

В результате предыдущего пункта, нам известно, что решение уравнения ut − a2 u = 0 с краевым условием αu(R, θ, ϕ; t) + βur(R, θ, ϕ; t) = 0 задаётся формулами (2.8.25) и (2.8.22).

Учитывая, что функция u(r, θ, ϕ; t) должна быть ограничена при r = 0, а функции

Jk+ 21	µknr	=	O	r	k+ 1	при r → +0, получаем, что
	R				2

						ckn = 0	при k < 0.

Поэтому функция, удовлетворяющая первым трём равенствам из (2.20.1), должна иметь вид:

∞	∞	µ2			J	1	µknr	k
				·		r
u =	ckne−		Rkn2 t	·		r
u =	ckne−		Rkn2 t			k+ 2√	R	(Akm sin (mϕ) + Bkm cos (mϕ)) Pkm(cos θ), (2.20.2)
X X								X
k=0 n=1								m=0

где µkn – положительные корни уравнения

αRJk+ 12 (µ) + βµJk0+ 12 (µ) = 0.

Шаг 2. Разложение функции граничного условия в ряд

Представим функцию начального условия ψ(r, θ, ϕ) в виде следующего ряда:

	∞ ∞		µknr	k
		21		m=0 (Ckm sin (mϕ) + Dkm cos (mϕ))
√rψ(r, θ, ϕ) = k=0 n=1 dkn√rJk+			R
	X X			X

(2.20.3)

Pkm(cos θ).

(2.20.4)

-226-

№ 794 б). Остывание шара

Введём обозначения:

(

bknm = rJk+ 21	R	Pk		(cos θ) sin θ cos (mϕ) .
aknm = rJk+ 1	µknr		m		(cos θ) sin θ sin (mϕ) ,
2	µknr		m			(2.20.5)

Домножив ряд (2.20.4) на

aijl = rJi+ 21		µijr	Pil(cos θ) sin θ sin (lϕ)
		R

и проинтегрировав по r (0, R), по θ (0, π) и по ϕ (0, 2π), получим:

√

= dijCil · Ji+ 21

· ksin (lϕ)k2

(2.20.6)

· Pil(x)

rψ, aijl

µijr

Аналогично, домножив ряд (2.20.4) на

bijl = rJi+ 21		µijr	Pil(cos θ) sin θ cos (lϕ)
		R

и проинтегрировав по r (0, R), по θ (0, π) и по ϕ (0, 2π), получим:

√

= dijDil · Ji+ 21

Pil

(x)

· kcos (lϕ)k2

(2.20.7)

rψ, bijl

µijr

В обеих формулах (2.20.6) и (2.20.6) присутствует

одинаковый

множитель

γijl = Ji+ 21

Pil

(x)

· kcos (lϕ)k2 = Ji+ 21

· Pil(x)

· ksin (lϕ)k2 .

µijr

Для нормы sin(

lϕ

) и

cos(lϕ)

легко получаются выражения

2π,

l = 0.

sin (lϕ)

cos (lϕ)

2 =

π,

По формуле3 для интеграла Ломмеля 1.1.14, стр. 3,

Ji+ 21

Ji0+

2 R −

! Ji+ 21 (µij) .

= 2

21 (µij) +

[µij]2

µijr

i + 2

Поскольку kPimk[2−1, 1] =

(i+m)!

по формуле (2.1.18), стр. 185, то

2i+1

(i−m)!

γijl =

Ji0+ 21

(µij)

−

[µij]2

Ji+

21 (µij) ·

2i+1

· (i−m)! · π,

l > 0;

(2.20.8)

(i+

21 )2

(i+m)!

(i+ 21 )

(µ

) +

1 (µ

)

2π,

l = 0.

i+ 2

−

[µij]

2i+1 ·

3Напомним,

что квадратом нормы функций Бесселя является выражение

Jk+ 21

rJk2+ 21

dr.

= Z

µknr

c Д.С. Ткаченко

-227-

Задачи для уравнения теплопроводности

Таким образом, для коэффициентов dkn, Ckm и Dkm разложения (2.20.4) мы, в силу (2.20.6) – (2.20.8), получаем:

	√			),
		rψ, aknm
dknCkm = (		γknm



			γknm	),
dknDkm = (


	√	rψ, bknm

γknm =

Jk0

(µkn)

+ R

−

[µkn]22

Jk+

(k+ 21 )2

2 h

(k+ 21 )

R J

1 (µkn) + R

[µkn]

−

Шаг 3. Использование начального условия

Приравняем ряд

∞	∞	µ2		J	1	µknr	k
			·		r
u(r, θ, ϕ; t) =	ckne−	Rkn2 t	·		r
u(r, θ, ϕ; t) =	ckne−	Rkn2 t			k+ 2√	R	(Akm
X X							X
k=0 n=1							m=0

2	(µkn) · 2k+1 ·		(k−m)! , m N;
1		π	(k+m)!
	(µkn) · 2k+1 ,			m = 0.
2
		2π

(2.20.9)

sin (mϕ) + Bkm cos (mϕ)) Pkm(cos θ),

(2.20.2)

взятый при t = 0 к ряду

∞

µknr

(2.20.4)

ψ(r, θ, ϕ) = k=0 n=1 dknJk+ 21

m=0 (Ckm sin (mϕ) + Dkm cos (mϕ)) Pkm(cos θ).

X X

и получим, что для коэффициентов cknAkm и cknBkm выполнены равенства:

cknAkm

= dknCkm =

(

γknm

√rψ, aknm

(√rψ, bknm)

cknBkm

= dknDkm =

γknm

(

2 )

(k+m)!

R J0

(µkn) + R

1 (µkn)

, m

− [µkn]

· 2k+1 ·

γknm =

2 h

(k−m)!

(k+ 21 )

2π

R J0

(µkn) + R

1 (µkn)

m = 0.

[µkn]

2k+1

−

(2.20.10)

Отметим, что поскольку aknm и bknm можно представить в виде произведения

knm =

(cos

)=pkm

µknr

P m

sin θ sin (mϕ) = s

(r)p

(θ, ϕ),

=skn

µknr

knm

|k (cos

)

}

=qkm

=skn

= rJ

sin θ cos (mϕ) = s

(r)q

(θ, ϕ),

k +

(k + m)!

}

γknm =

−

[µ

Jk+

(µkn)

· 2k + 1 · (k

m)! = ζknξkm,

−

=ξkn

=ζkn

}

{z }

то равенства (2.20.10) позволяют однозначно определить коэффициенты ckn, Akm и Bkm.

Ответ:

∞	∞	µ2		J	1	µknr	k
			·		r
u(r, θ, ϕ; t) =	ckne−	Rkn2 t	·		r
u(r, θ, ϕ; t) =	ckne−	Rkn2 t			k+ 2√	R	(Akm sin (mϕ) + Bkm cos (mϕ)) Pkm(cos θ),
X X							X
k=0 n=1							m=0

(2.20.2)

-228-

№ 794 б). Остывание шара

где µkn – положительные корни уравнения

αRJ

1 (µ) + βµJ

1 (µ) = 0,

(2.20.3)

а коэффициенты cknAkm и cknBkm находятся из формул

cknAkm

dθ

2π

dϕ r

ψ(r, θ, ϕ)Jk+ 21

Pk (cos θ) sin θ sin (mϕ) ,

= γknm 0

Rπ

R2π

µknr

dθ

dϕ r

ψ(r, θ, ϕ)Jk+

Pk (cos θ) sin θ cos (mϕ) ,

cknBkm

γknm

R R R

(k+

)

(k+m)!

R J0

(µkn) + R

(µkn)

, m

−

· 2k+1

γknm =

2 h

[µkn]

(k−m)!

(k+ 21 )

2π

R J0

(µkn) + R

(µkn)

m = 0.

[µkn]

2k+1

−

(2.20.11)

c Д.С. Ткаченко

-229-

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 108 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
04.06.2015511.46 Кб43Skhemy_Orlov.нов.doc
#
04.06.2015137.09 Кб60sostoyania_cheloveka_v_protsesse_truda.docx
#
01.05.202562.61 Кб0Sozdanie_LP_s_vysokoy_konversiey.docx
#
18.11.2019296.96 Кб103SO_UI_U3-4_TestA.doc
#
05.06.2015696.53 Кб30Speak ehglish with us.pdf
#
05.06.20152.13 Mб130SpecFunc.pdf
#
05.06.2015605.52 Кб36Spisok_opredeleny_k_ekzamenu_2014.pdf
#
04.08.201990.05 Кб6SPORY.docx
#
04.06.20153.1 Mб23Statistics.doc
#
26.09.2019275.46 Кб16STBDiIS шпоры1.doc
#
12.11.2019370.61 Кб18Studentam.Integrals.docx