Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5136 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:
SpecFunc.pdf
Скачиваний:
128
Добавлен:
05.06.2015
Размер:
2.13 Mб
Скачать
☆
►Содержание►

Глава 2.

Сферические функции

2.1. Краткое введение

2.1.1. Полиномы Лежандра

Опр. 2.1.1. Уравнение Лежандра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ λy(x) = 0,

x (−1, 1).

 

 

 

 

dx (1 − x2)

dx

(2.1.1)

 

 

 

d

dy(x)

 

 

 

Теорема 2.1.1.

Усл. Ограниченная функция y(x) 6≡0 есть решение уравнения (2.1.1).

Утв. 1) λ = n(n + 1), где n = 0, 1, 2, . . . ;

2) функция y(x) является полиномом степени n, называемым полиномом Лежандра, и может быть найдена по формуле Родрига:

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

dn

n

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x) = Pn(x) =

 

 

·

 

x2

− 1

.

 

(2.1.2)

 

 

 

 

 

2nn!

dxn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1.2 (Рекуррентные формулы).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Утв. Имеют место следующие соотношения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(n + 1)Pn+1(x) − x(2n + 1)Pn(x) + nPn−1(x) = 0,

 

n > 1;

(2.1.3)

 

 

Pn0

−1(x) = xPn0 (x) − nPn(x),

 

 

 

 

 

 

 

n > 1;

(2.1.4)

 

 

Pn0

(x) = xPn0

 

1(x) + nPn0

−

1(x),

 

 

 

 

 

 

 

n > 1;

(2.1.5)

 

 

 

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n > 1;

(2.1.6)

 

 

Pn0

+1(x) − Pn0

−1(x) = (2n + 1)Pn(x),

 

 

 

 

 

 

 

(1 − x2)Pn0 (x) = nPn−1(x) − xnPn(x),

 

 

 

 

 

n > 1.

(2.1.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кроме приведённых формул, также весьма полезны следующие соотношения:

Pn(−x) = (−1)nPn(x),

Pn(1) = 1, Pn(−1) = (−1)n,

n > 1;

(2.1.8)

P2m+1(0) = 0,

P2m(0) =

(−1)m(2m)!

, m >

0.

(2.1.9)

22m(m!)2

 

 

 

 

 

183

 

 

 

 

 

 

Сферические функции

 

 

 

 

 

 

 

Выпишем первые несколько полиномов Лежандра:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P0(x) = 1,

P1(x) = x,

P2(x) =

3x2 − 1

,

 

 

 

P3

(x) =

5x3 − 3x

;

(2.1.10)

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

P4

(x) =

35x4 − 30x2 + 3

,

P5(x) =

63x5 − 70x3 + 15x

;

 

(2.1.11)

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P6(x) =

231x6 − 315x4 + 105x2 − 5

, . . .

 

 

 

 

(2.1.12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1.3 (Ортогональность и норма полиномов Лежандра).

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2k+1 ,

 

при

k = n.

 

 

 

 

 

 

 

≡ Z

 

 

 

 

 

 

Утв.

 

(Pk(x), Pn(x))

 

Pk(t)Pn(t)dt =

0,2

 

 

при

k 6= n;

(2.1.13)

 

 

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1.4 (Разложение в ряд по полиномам Лежандра от косинусов).

Усл. f(θ) C2[0, π].

Утв. f(θ) разлагается в следующий ряд Фурье

∞

 

 

 

 

π

 

 

fk = 2

2

 

Z

f(θ)Pk(cos θ) sin θdθ,

θ [0, π]. (2.1.14)

f(θ) = k=0 fkPk(cosθ),

 

X

 

 

k + 1

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

При этом ряд (2.1.14) сходится к f(θ) равномерно на всём сегменте [0, π].

2.1.2. Присоединённые функции Лежандра

Здесь мы будем рассматривать следующее уравнение:

d

(1 − x2)

dy(x)

+ λ −

m2

y(x) = 0, x (−1, 1).

(2.1.15)

dx

dx

 

1 − x2

 

 

 

 

 

-184-

 

 

Сферические функции

Теорема 2.1.5.

Усл. Ограниченная функция y(x) 6≡0 есть решение уравнения (2.1.15).

Утв. 1) λ = n(n + 1), где n = 0, ∞;

2)функция y(x), называемая присоединённой функцией Лежандра порядка k, может быть найдена по формуле:

 

m

dmPn(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(x) = Pnm(x) = 1 − x2

2 ·

 

 

, m = 0, n;

(2.1.16)

dxm

3) при этом Pn(0)(x) ≡ Pn(x) – полиномы Лежандра, а Pnm(x) ≡ 0 при всех m > n.

Опр. 2.1.2. Функции

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pnm (cos θ) cos kϕ,

Pnm (cos θ) sin kϕ,

 

 

 

 

 

(2.1.17)

 

m =

0, n, n = 0, ∞,

называются сферическими гармониками.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1.6 (Ортогональность и норма присоединённых функций Лежандра).

 

(Pk

(x), Pn

1

Pk

(t)Pn (t)dt = (

 

2k2+1 ·

((kk−+mm)!)! ,

при

k = n.

(2.1.18)

 

(x)) ≡ Z

 

Утв.

m

m

m

m

0,

 

 

 

при

k 6= n;

 

 

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 2.1.7 (Разложение в ряд по сферическим гармоникам).

Усл. g(θ, ϕ) C2,

θ [0, π], ϕ [0, 2π], g(θ, ϕ + 2π) = g(θ, ϕ).

Утв. g(θ, ϕ) разлагается в следующий ряд Фурье

 

 

 

∞

"

αk0

 

 

k

 

 

g(θ, ϕ) =

 

2

Pk(cos θ) + Pkm(cos θ) (αkm cos(mϕ) + βkm sin(mϕ))# ,

 

 

X

 

 

 

 

X

 

 

 

 

k=0

 

 

 

 

m=1

 

 

 

km

 

 

2π

· (k + m)!

2π

π

k

 

 

 

Z0

Z0

α

 

=

2k + 1

 

(k − m)!

dϕ cos(mϕ)

 

g(θ, ϕ) P m (cos θ) sin θdθ,

 

 

 

 

 

 

 

km

 

 

2π

· (k + m)!

2π

π

k

 

 

 

Z0

Z0

β

=

2k + 1

 

(k − m)!

dϕ sin(mϕ)

 

g(θ, ϕ) P m (cos θ) sin θdθ,

 

 

 

 

 

 

(2.1.19)

(2.1.20)

(2.1.21)

При этом ряд (2.6.16) сходится к g(θ, ϕ) абсолютно и равномерно на

θ [0, π], ϕ [0, 2π].

c Д.С. Ткаченко

-185-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности